一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、英: first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（英: second-order predicate logic）と呼び、さらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（英: higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細はそれぞれの記事を参照。
概要
命題論理との差異

命題論理では文を構成する最も基本的な命題（原子命題）は命題記号と呼ぶ一つの記号によって表していた。それに対し、一階述語論理においては、最も基本的な命題は原子論理式と呼ぶ記号列によって表す。原子論理式とは述語記号( P {\displaystyle P} )と呼ぶ記号と、項( t 1 , ⋯ , t n {\displaystyle t_{1},\,\cdots ,\,t_{n}} ) と呼ぶものの列、からなる P ( t 1 , ⋯ , t n ) {\displaystyle P(t_{1},\,\cdots ,\,t_{n})} という形の記号列であり、これは個体の間の関係を表すものである。

命題論理にない一階述語論理のもう一つの特徴は量化 (quantification) である。例えば、定言的命題論理の範囲において、次のような推論の妥当性を扱うことはできない：すべての人間は死ぬ。ソクラテスは人間である。したがってソクラテスは死ぬ。

一階述語論理では、このような「すべての…について」という表現や、また「ある…について」といった表現を扱えるように、全称量化記号 (universal quantifier) と呼ぶ記号 ∀ {\displaystyle \forall } ; と存在量化記号 (existential quantifier) と呼ぶ記号 ∃ {\displaystyle \exists } ; を新たに導入する。これらを用いると「すべての x {\displaystyle x} について ϕ {\displaystyle \phi } ; である」という命題は ∀ x ϕ {\displaystyle \forall x\phi } ; 、「ある x {\displaystyle x} に対して ϕ {\displaystyle \phi } ; である」は ∃ x ϕ {\displaystyle \exists x\phi } ; と表される。これらの記号を用いると上の三つの文はそれぞれ、例えば、 ∀ x [ P ( x ) ⇒ Q ( x ) ] {\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]} P ( a ) {\displaystyle P(a)} Q ( a ) {\displaystyle Q(a)}

のように記号化することができる。ここで、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} と Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} はそれぞれ「 x {\displaystyle x} は人間である」「 x {\displaystyle x} は死ぬ」を表し、 a {\displaystyle a} はソクラテスを表すことを意図している。上の日本語による定言命題推論の妥当性は不決定的だが、仮言命題推論化されるならば、一階述語論理において Q ( a ) {\displaystyle Q(a)} が { ∀ x [ P ( x ) ⇒ Q ( x ) ] , P ( a ) } {\displaystyle \{\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\,,\,P(a)\}}

の論理的帰結 (logical consequence) であるという事実に反映される。一般に、論理式 ϕ {\displaystyle \phi } ; が論理式の可算集合 Σ {\displaystyle \Sigma } ; の論理的帰結であるとは、 Σ {\displaystyle \Sigma } ; の論理式のすべてをみたす解釈は必ず ϕ {\displaystyle \phi } ; もみたすこととして定義され、これは、あるいくつかの前提からある結論が論理的に導かれるという概念の数学的な定式化である。

命題論理においては、論理式の解釈は各命題記号に対する真理値 0 , 1 の割り当てが与えられた。これに対して、一階述語論理の論理式の解釈は構造 (structure) と呼ばれ、これは領域 (universe, domain) と呼ぶ空でない集合と、それぞれの非論理記号（述語記号・関数記号・定数記号）の "意味" の割り当てからなる。領域とは「すべての x {\displaystyle x} について」といったときの x {\displaystyle x} が動きうる値の範囲である。一階述語論理の論理式は構造を一つ与えることによって真偽が決定される。

二階述語論理（およびそれ以上の高階述語論理）では、述語および関数に対する量化を導入する。
一階述語論理の表現力

一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある。
一階の言語

一階述語論理の言語（一階の言語）は次のものからなる：論理記号 (logical symbol)
変数（あるいは個体変数）と呼ぶ記号の集合： V = { x 1 , x 2 , ⋯ } {\displaystyle V=\{x_{1},\,x_{2},\,\cdots \}}

結合記号： ¬ {\displaystyle \lnot } , ∧ {\displaystyle \land } , ∨ {\displaystyle \lor } , ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } , ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow }

量化記号： ∀ {\displaystyle \forall } , ∃ {\displaystyle \exists }

括弧： ( {\displaystyle (} , ) {\displaystyle )} , [ {\displaystyle [} , ] {\displaystyle ]} , { {\displaystyle \{} , } {\displaystyle \}}

等号： = {\displaystyle =} （含まなくてもよい。）
非論理記号 (nonlogical symbol)
述語記号と呼ぶ記号の集合（有限集合でも無限集合でもよい）。各述語記号にはアリティ（arity）と呼ぶ引数の個数に相当する正の整数が一つ対応しているものとする[1]。

関数記号と呼ぶ記号の集合（有限集合でも無限集合でもよい）。各関数記号もアリティを持っているものとする。

定数記号と呼ぶ記号の集合（有限集合でも無限集合でもよい）。

一階の言語は、それが等号を持つかどうか、非論理記号に何を持っているかを決めることによって定まる。例えば集合論においては、等号を持ち、非論理記号としてはアリティ 2 {\displaystyle 2} の述語記号 ∈ {\displaystyle \in } ; だけをもつ一階の言語（集合論の言語）が使われる。以下に一階の言語について、いくつかの注意を述べる。

等号 = {\displaystyle =} はアリティ 2 {\displaystyle 2} の特別な述語記号として扱われる。どの一階の言語にも等号を含めて少なくとも一つは述語記号が含まれていなければならないものとする。

アリティ n {\displaystyle n} の述語（関数）記号を、 n {\displaystyle n} 変数述語（関数）記号と呼ぶこともある。

記号は一つの用途のみに用いる。すなわち、一つの一階の言語において、ある記号が述語記号であると同時に定数記号でもあるということや、論理記号であると同時に関数記号でもあるというようなことがあってはならない。

いくつかの結合記号や量化記号は言語にもともと含まれている記号ではなく、省略記法として定義によって導入される場合がある。例えば、 ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } ; は言語に含まれず、 ( ϕ ⇔ ψ ) {\displaystyle (\phi \Leftrightarrow \psi )} は [ ( ϕ ⇒ ψ ) ∧ ( ψ ⇒ ϕ ) ] {\displaystyle [(\phi \Rightarrow \psi )\land (\psi \Rightarrow \phi )]} を表すものとして定義される場合もある。上の論理記号すべてを用いて表現される命題は、例えば ¬ {\displaystyle \lnot } 、 ∨ {\displaystyle \lor } 、 ∃ {\displaystyle \exists } や ¬ {\displaystyle \lnot } 、 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 、 ∀ {\displaystyle \forall } だけを用いても十分に表現できることが知られている。

文献によっては、 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } の代わりに ⊃ {\displaystyle \supset } ; を用い、 ∀ {\displaystyle \forall } の代わりに Π {\displaystyle \Pi } ; を用いている場合がある。

同一性関係を一階述語論理の一部とみなす場合もある。その場合、等号は必ず言語に含まれることになる。常に等号が含まれることを仮定した一階述語論理を等号付き一階述語論理と呼ぶ。

定数記号はアリティ 0 の関数記号と呼ぶこともある。

上の定義では述語は 1 以上のアリティを持つとされているが、アリティ 0 の述語も考えることができ、それらは「真」や「偽」を意味するものと考えることができる。しかし「真」は ∀ x ( x = x ) {\displaystyle \forall x(x=x)} などと別の方法で表せるので、アリティ 0 の述語を導入することに大きな意味はない。

括弧の使い方の流儀は様々である。ある人は ∀ x {\displaystyle \forall x} を ( ∀ x ) {\displaystyle (\forall x)} と書く。括弧の代わりにコロンや終止符を使う場合もある。もちろんその場合には、言語にコロンや終止符を含めておく必要がある。括弧を全く使わない表記法にポーランド記法(Polish notation)と呼ぶものがある。これは、 ∧ {\displaystyle \land } ; や ∨ {\displaystyle \lor } ; を先頭に書いて ( ϕ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} の代わりに ∧ ϕ ψ {\displaystyle \land \phi \psi } のように書く方法である。ポーランド記法はコンパクトで数学的に取り扱いやすいという利点があり、可読性が低いという欠点がある。

項と論理式
項