この項目では、一次の多項式函数としての一次関数について説明しています。一次の有理函数[注釈 1]については「一次分数変換」, 「メビウス変換」を、ベクトルの一次変換については「線型写像」をご覧ください。
.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "一次関数"
数学、特に初等解析学における（狭義の）一次関数（いちじかんすう、英: linear function）は、（一変数（英語版）の）一次多項式関数（first-degree polynomial function）、つまり次数 1 の多項式が定める関数 x ↦ a x + b {\displaystyle x\mapsto ax+b}
をいう（もしくは y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} と表記される）。ここで、係数 a (≠ 0), b は x に依存しない定数であり、矢印は各値 x に対して ax + b を対応させる関数であることを意味する。特に解析幾何学において、係数および定義域は実数の範囲で扱われ、その場合一次関数のグラフは平面直線である。より広義には、係数や定義域として複素数やその他の環を考えたり、多変数の一次多項式関数や、あるいは一次式をベクトル空間や作用を持つ加群の文脈で理解することもある。いくつかの直線の式：赤（●）と青（●）は傾きが等しく、赤（●）と緑（●）は同じ y-切片を持つ。
一次関数は線型関数（linear function）やアフィン関数（affine function）とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 (a = 0) も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 (b = 0) で斉一次関数で与えられる。
以下、解析幾何学における実関数としての一次関数について述べる。 初等解析学において、不定元 x に関する高々一次の多項式 ax + b（a, b は実定数）に対し、x を実変数とみて得られる写像 f a , b : R → R ; x ↦ f a , b ( x ) = a x + b {\displaystyle f_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\ x\mapsto f_{a,b}(x)=ax+b} を一次関数と呼ぶ（見かけ上一次なだけでなく実際に「一次」であることを要請する場合は「a ≠ 0」とする）。定数関数となる a = 0 を含める場合は、これを「退化」しているといい、そうでない場合を非退化という。 解析幾何学において、デカルト座標が与えられたxy-平面 R2 上に、一次関数 f(x) = ax + b のグラフ { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y = f ( x ) } {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)\}} は直線を描くため、一次関数は「直線の式」（あるいは単に「直線」）としても知られ、言葉の濫用で（一次函数それ自身とそのグラフとをとくに区別することなく扱って）直線 y = ax + b などともいう。各軸における切片 一次式 ax + b を特徴付けるふたつの定数について、a が増減すると対応する直線の「傾き」が急になったり緩やかになったりするので、a はこの直線の傾きと呼ばれる。また b は対応する直線と y-軸との交点の座標であり y-切片 (y-intercept) あるいは単に切片と呼ばれる。また、aは変化の割合（変化率）とも呼ばれ、変化の割合は.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}yの増加量/xの増加量で求められる[3]。
定義と簡単な説明
傾き a が正の場合はグラフは右上がりになり、負の場合は右下がりになる。いずれの場合も、a の絶対値が大きくなるほど傾きが「急」になる。
