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を翻訳することにより充実させることができます。(2024年5月)翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。数学における一次方程式(いちじほうていしき、英語: first-degree polynomial equation, linear equation)は、一次多項式の根を求めるものである。 a, b は実数の定数とするとき、 a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} または a x = − b {\displaystyle ax=-b} なる形をとる。後者の形の場合は、a ≠ 0 ならば(a−1 = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/a が存在するから)一意的に解けて x = ?b/a がその解である。a = 0 のとき、b ≠ 0 ならば不能、b = 0 ならば不定である。 一般形は a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} で、これは {(x, y)。ax + by + c = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、 y = m x + b {\displaystyle y=mx+b} なる形で扱うことができる。これはふつう、x を自由変数とし y を x の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。 三変数の場合 a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d} はユークリッド空間 R3 における平面(空間平面)を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x0 が与えられれば n ( x − x 0 ) = 0 {\displaystyle n(x-x_{0})=0} なる形に書きなおせる(平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化)。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、Rn 内の超平面(余次元 1 のアフィン部分空間)を表す。すなわち n-変数の一次方程式 a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b} は超平面の方程式である。一次形式 L : ( x 1 , … , x n ) ↦ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n {\displaystyle L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}} は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は { ( x 1 , … , x n ) ∣ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b } = x 0 + ker L {\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L} の形に書くこともできる。 一次方程式の理論は係数や解を(実数や複素数のような数に限らず)一般の(非可換)体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が(非可換)体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。「線型方程式系」も参照 A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式 A x = b {\displaystyle Ax=b}
一変数の場合
二変数の場合詳細は「一次関数」を参照
三変数および更に多変数の場合詳細は「超平面」を参照
更なる一般化