一次方程式 - 暇つぶしWikipedia

一次方程式

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数学における一次方程式（いちじほうていしき、英語: first-degree polynomial equation, linear equation）は、一次多項式の根を求めるものである。
一変数の場合

a, b は実数の定数とするとき、 a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} または a x = − b {\displaystyle ax=-b}

なる形をとる。後者の形の場合は、a ≠ 0 ならば（a−1 = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/a が存在するから）一意的に解けて x = ?b/a がその解である。a = 0 のとき、b ≠ 0 ならば不能、b = 0 ならば不定である。
二変数の場合詳細は「一次関数」を参照

一般形は a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0}

で、これは {（x, y）。ax + by + c = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、 y = m x + b {\displaystyle y=mx+b}

なる形で扱うことができる。これはふつう、x を自由変数とし y を x の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。
三変数および更に多変数の場合詳細は「超平面」を参照

三変数の場合 a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d}

はユークリッド空間 R3 における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x0 が与えられれば n ( x − x 0 ) = 0 {\displaystyle n(x-x_{0})=0}

なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、Rn 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち n-変数の一次方程式 a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}

は超平面の方程式である。一次形式 L : ( x 1 , … , x n ) ↦ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n {\displaystyle L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}

は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は { ( x 1 , … , x n ) ∣ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b } = x 0 + ker ⁡ L {\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L}

の形に書くこともできる。
更なる一般化

一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。「線型方程式系」も参照

A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式 A x = b {\displaystyle Ax=b}

は A が正則ならば解くことができて x = A−1b となる。

より一般に、集合 X に作用素の集合 T が与えられているとき、X-値の変数 x に対して作用 τ ∈ T および定元 b ∈ X を与えれば、方程式 τ x = b {\displaystyle \tau x=b}

は意味を持ち、τ の逆作用素 τ−1が存在すれば x = τ−1b となる。特に T が群 G で X がG-加群 M のとき、 g x + b = 0 ( g ∈ G , b ∈ M ) {\displaystyle gx+b=0\quad (g\in G,b\in M)}

表

話

編

歴
 多項式
 元数

 多変数

 次数

多項式

 零多項式

 定数多項式

 斉次多項式

 函数

次数不確定 (or −∞)（零函数）

零次（非零定数函数）

一次

 二次

 三次

 四次

五次

方程式

一次

二次

 三次

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