この項目では、多項式函数について説明しています。一次の有理函数[注釈 1]については「一次分数変換, メビウス変換」を、ベクトルの一次変換については「線型写像」をご覧ください。

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。
出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（2016年12月）
いくつかの直線の式：赤（●）と青（●）は傾きが等しく、赤（●）と緑（●）は同じ y-切片を持つ。

数学、特に初等解析学における（狭義の）一次関数（いちじかんすう、英: linear function）は、（一変数（英語版）の）一次多項式関数（フランス語版）（first-degree polynomial function）、つまり次数 1 の多項式が定める関数 x ↦ a x + b {\displaystyle x\mapsto ax+b}

をいう。ここで、係数 a (≠ 0), b は x に依存しない定数であり、矢印は各値 x に対して ax + b を対応させる関数であることを意味する。特に解析幾何学において、係数および定義域は実数の範囲で扱われ、その場合一次関数のグラフは平面直線である。より広義には、係数や定義域として複素数やその他の環を考えたり、多変数の一次多項式函数や、あるいは一次式をベクトル空間や作用を持つ加群の文脈で理解することもある。

一次関数は線型関数（linear function の直訳）やアフィン関数 (affine function) とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 (a = 0) も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 (b = 0) で斉一次函数で与えられる。

以下、解析幾何学における実函数としての一次函数について述べる。
目次

1 定義と簡単な説明

2 平面直線の式として

2.1 傾き・切片標準形

2.2 二点標準形

2.3 直線の成す角の正接と傾き


3 解析学

4 一次函数の演算

5 一般化

6 注

6.1 注釈

6.2 出典


7 参考文献

8 関連項目

定義と簡単な説明

初等解析学において、不定元 x に関する高々一次の多項式 ax + b（a, b は実定数）に対し、x を実変数とみて得られる写像 f a , b : R → R ;   x ↦ f a , b ( x ) = a x + b {\displaystyle f_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\ x\mapsto f_{a,b}(x)=ax+b}

を一次函数と呼ぶ（見かけ上一次なだけでなく実際に「一次」であることを要請する場合は「a ≠ 0」とする）。定数函数となる a = 0 を含める場合は、これを「退化」しているといい、そうでない場合を非退化という。

解析幾何学において、デカルト座標が与えられたxy-平面（英語版） R2 上に、一次関数 f(x) = ax + b のグラフ { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y = f ( x ) } {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)\}}

は直線を描くため、一次関数は「直線の式」（あるいは単に「直線」）としても知られ、言葉の濫用で（一次函数それ自身とそのグラフとをとくに区別することなく扱って）直線 y = ax + b などともいう。 各軸における切片

一次式 ax + b を特徴付けるふたつの定数について、a が増減すると対応する直線の「傾き」が急になったり緩やかになったりするので、a はこの直線の傾きと呼ばれる。また b は対応する直線と y-軸との交点の座標であり y-切片 (y-intercept) あるいは単に切片と呼ばれる。

傾き a が正の場合はグラフは右上がりになり、負の場合は右下がりになる。いずれの場合も、a の絶対値が大きくなるほど傾きが「急」になる。

y-切片 b が増減すると対応する直線は座標平面を上下に平行移動する。

x-切片（直線と x-軸の交点）は ax + b の零点 x = −b/a であたえられる。

一次函数 f が非退化 (a ≠ 0) ならば、非有界、非周期的、かつ単調増大 (a > 0) または単調減少 (a < 0) である。さらに単射かつ全射、従って一対一対応ゆえに可逆（であって、逆函数もまた非退化な一次函数）である。これと対照に、定数函数に退化している (a = 0) ならば、有界、周期的、かつ偶函数であり、非増大かつ非減少の意味では単調であるが、単射でも全射でもなく（したがって一対一対応にならず）逆函数を持たない。退化・非退化の場合によらず b = 0 のとき一次函数は奇函数であり、偶かつ奇となるのは定数函数 x ? 0 に限る。 x-軸に垂直な直線は一次函数ではない x-軸に平行な直線は定数函数
平面直線の式として詳細は「直線」を参照
傾き・切片標準形

一次関数の表す直線の式 y = ax + b は、傾きと y-切片を与えることによって一意的に決定される「傾き・切片（標準）形」(slope-intercept form) であり、座標平面上で直線を表す式としては他に「点・傾き（標準）形」(point-slope form) である y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})}

（点 (x0, y0) を通る、ただ一つの傾き a の直線）や「一般形」(general form) A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0}

（これ自体は二変数の一次方程式である）が挙げられる。詳細は平面における直線の標準形も参照。一般形は平面上のあらゆる直線を表すだけの能力を持ち、これには x-軸に垂直（y-軸に平行）な直線 x = c なども含まれるが、この種の直線の傾きは定まらないため傾きを明示的に利用する標準形では表せないし、一次関数どころか関数でさえない。また、x-軸に平行な傾き 0 の直線は、定数関数に対応しているのであり、一次関数 y = ax + b の定義に a ≠ 0 を仮定するならば、これも一次関数では表せないことになる。

二点標準形 傾きは任意の二点間での各成分の増分の比

一次関数の傾きは通る二点が分かれば一意的に決定できるので、一次関数はそれが通る二点が決まればただひとつに決まる。一次関数 f(x) = ax + b が二点 (x1, y1), (x2, y2) を通るとき、[y の増分]/[x の増分] =: Δy/Δx は点の取り方に依らず一定で、傾きに等しく a = Δ y Δ x = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

が成り立つ。この直線は点 (x1, y1) を通る（あるいは点 (x2, y2) を通る）のだから点・傾き標準形と合わせて考えれば、二点標準形が得られ、この一次関数は f ( x ) = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) + y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 2 ) + y 2 {\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{2})+y_{2}}