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出典検索?: "一意性" 数学
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一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。
これら二つの主張は論理的な意味が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。
たとえば群論における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、整数論における「素因数分解の一意性」は後者が成り立つことを主張している。
また、一意的に存在することを記号「∃!」[1]、もしくは「∃=1」のように書くことができ、たとえば ∃ ! n ∈ N ( n − 2 = 4 ) {\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}
は、「 n − 2 = 4 {\displaystyle n-2=4} を満たすような自然数 n {\displaystyle n} がただ一つ存在する」という意味の論理式となる。 ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、次にそのような対象がもう一つあり（例: a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} ）、それらが互いに等しいこと（すなわち a = b {\displaystyle a=b} ）を示すことで得られる。 例えば、方程式: x + 2 = 5 {\displaystyle x+2=5} 満たす解が1つであることを示すには、まず少なくとも1つの解、すなわち x {\displaystyle x} を満たす解 3 {\displaystyle 3} が存在することを証明しなければならない。この証明は、単に下記の方程式が成り立つことを確認すればよい: 3 + 2 = 5 {\displaystyle 3+2=5} 。 解が一意性であることを示すために、 x + 2 = 5 {\displaystyle x+2=5} を満たす解が、 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の2つ存在することを仮定して解く。 このとき、 a + 2 = 5 {\displaystyle a+2=5} かつ b + 2 = 5 {\displaystyle b+2=5} 。 両方の方程式から等号の推移律により、 a + 2 = b + 2 {\displaystyle a+2=b+2} 。 両辺から 2 を引くと、 a = b {\displaystyle a=b} 。 となり、 x + 2 = 5 {\displaystyle x+2=5} を満たす解が 3 の一意に決まることが証明できた。 一般に、ある条件を満たす対象がただ一つ存在すると示すためには、存在性（少なくとも1つの対象が存在すること）と一意性（多くても1つの対象が存在すること）の両方を証明しなければならない。 一意性を証明する他の証明方法として、条件を満たす対象 a {\displaystyle a} が存在することを証明して、その条件を満たすすべての対象が a {\displaystyle a} と等しいことを証明する方法がある。 述語（性質） P を満たす議論領域の対象 x がただ一つ存在するという命題を ∃!x P(x) と書く。これは述語論理の連言 ∧ ・含意 → ・存在記号 ∃ ・全称記号 ∀ などを用いて書かれる ∃ x [ P ( x ) ∧ ∀ y [ P ( y ) → x = y ] ] {\displaystyle \exists x\,[P(x)\land \forall y\,[P(y)\rightarrow x=y]]} という命題を指す。同値な別の表現（あるいは定義）としては、存在性と一意性を分離した ∃ x P ( x ) ∧ ∀ y ∀ z [ [ P ( y ) ∧ P ( z ) ] → y = z ] {\displaystyle \exists x\,P(x)\land \forall y\forall z\,[[P(y)\land P(z)]\rightarrow y=z]}
一意性の証明
述語論理