「ローレンツ曲線」とは異なります。
ρ = 28, σ = 10, β = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}8/3 の時のローレンツアトラクターの解

ローレンツ方程式（ローレンツほうていしき）とは、数学者・気象学者であるエドワード・ローレンツ（Edward Lorenz）が最初に研究した非線型常微分方程式である。特定のパラメータ値と初期条件に対してカオス的な解を持つことで注目されている。特に、ローレンツ方程式のカオス解の集合はローレンツ・アトラクターと呼ばれる。いわゆるバタフライ効果の説明に用いられることが多く、決定論的な連立常微分方程式が初期値鋭敏性を持つことは驚きをもって迎えられ、カオス研究の端緒となった。
概要

1963年、エドワード・ローレンツは、数値シミュレーションや数値計算を担当したエレン・フェッターと、ローレンツ方程式の発見に至る初期の数値計算を担当したソフトウェアエンジニア、マーガレット・ハミルトンの協力を得て、大気変動の簡易数学モデルを開発した[1][2]。このモデルが、現在ローレンツ方程式として知られている以下の3つの常微分方程式の系である： d x d t = σ ( y − x ) , d y d t = x ( ρ − z ) − y , d z d t = x y − β z . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}

この方程式は、下から暖められ、上から冷やされる2次元の流体層の特性に関するもので、3つの量の時間に対する変化率を記述しており、 xは対流速度に、yは水平温度変化に、zは垂直温度変化に比例する。 [3] また定数 σ, ρ, β はそれぞれ プラントル数、レイリー数に関する不安定度を表すパラメータ、臨界水平波数に関するパラメータである。

ローレンツ方程式はレーザー、[4] 発電機、[5]サーモサイフォン、 [6] ブラシレスDCモーター、 [7] 電気回路、 [8] 化学反応[9]、正浸透 [10]などの簡易モデルで生じうる。また、マルクス水車のフーリエ空間での支配方程式でもある [11][12]。すなわちマルクス水車はカオス運動を示し、一定速度で一方向に回転するのではなく、その回転が加速したり減速したり停止したり方向転換したり、それらの組み合わせで前後に振動したりと予測不能の動きをする。
解析

通常、パラメータ σ, ρ, β は正であると仮定する。ローレンツはσ=10、β=8/3、ρ=28という値を使用し、これらの値（およびその近傍の値）に対して、系がカオス的な振る舞いをすることを示している[13]。

もしρ<1なら、均衡点は1つだけであり、それは原点である。この点は対流がないことに対応する。すべての軌道は原点に収束し、広域的なアトラクターとなる。[14].

ρ = 1でピッチフォーク分岐が起こり、ρ > 1 でさらに下記の2つの臨界点が現れる。 ( β ( ρ − 1 ) , β ( ρ − 1 ) , ρ − 1 ) and ( − β ( ρ − 1 ) , − β ( ρ − 1 ) , ρ − 1 ) . {\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).} これらは定常対流に相当する。この二つの平衡点は ρ < σ σ + β + 3 σ − β − 1 , {\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},} の場合にのみ安定である。