レヴィ-チヴィタ接続（レヴィ-チヴィタせつぞく、英: Levi-Civita connection）とは、リーマン多様体M上に共変微分という概念を定める微分演算子で、Mがユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体の場合は、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における（通常の意味の）微分をMに射影したものが共変微分に一致する。

レヴィ-チヴィタ接続は擬リーマン多様体においても定義でき、一般相対性理論に応用を持つ。

レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」（後述）を用いる事で、M上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。

レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。

レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによる。
モチベーション

Mを R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} の部分多様体とし、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線とし、さらに v ( t ) {\displaystyle v(t)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたMのベクトル場とし（すなわち各時刻tに対し、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は v ( t ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle v(t)\in T_{c(t)}M} を満たすとし）、 ∇ d t v ( t ) := P r c ( t ) ( d d t v c ( t ) ) {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t):=\mathrm {Pr} _{c(t)}\left({d \over dt}v_{c(t)}\right)}

と定義する。ここでPrはMの点c(t)における R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の接平面（と自然に同一視可能なTc(t)M）への射影である。またX、YをM上のベクトル場とするとき、 ∇ X Y 。 P := ∇ d t Y exp ⁡ ( t X ) ( P ) {\displaystyle \nabla _{X}Y|_{P}:={\nabla \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}}

と定義する。ここで exp ⁡ ( t X ) ( P ) {\displaystyle \exp(tX)(P)} は時刻0に点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} を通るXの積分曲線である。実はこれらの量はMの内在的な量である事、すなわち R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} からMに誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。具体的には以下の通りである：

定理 ― Mに局所座標 ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} を取るとき、以下が成立する（アインシュタインの縮約で表記）： ∇ d t v ( t ) = ( d d t v i ( t ) + d x j ( t ) d t v k ( t ) Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^{i}(t)+{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} ...(1)　　　where Γ j k i = 1 2 g i ℓ ( ∂ g k ℓ ∂ x j + ∂ g ℓ j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x ℓ ) {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)} ...(2)

ここで v ( t ) = v i ( t ) ∂ ∂ x i {\displaystyle v(t)=v^{i}(t){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} であり、 ( g i ℓ ) i ℓ {\displaystyle (g^{i\ell })_{i\ell }} は ( g ℓ j ) ℓ j {\displaystyle (g_{\ell j})_{\ell j}} の逆行列である。すなわち δ i j {\displaystyle \delta ^{i}{}_{j}} をクロネッカーのデルタとするとき、 g i ℓ g ℓ j = δ i j {\displaystyle g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}} である。証明

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の元を成分で y → = ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y^{1},\ldots ,y^{n})} と表し、局所座標が ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} で表せるMの元の R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における成分表示を y → ( x 1 , … , x m ) = ( y 1 ( x 1 , … , x m ) , … , y n ( x 1 , … , x m ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(x^{1},\ldots ,x^{m})=(y^{1}(x^{1},\ldots ,x^{m}),\ldots ,y^{n}(x^{1},\ldots ,x^{m}))}

と表すと、 d d t v → ( t ) {\displaystyle {d \over dt}{\vec {v}}(t)} = d d t ( v k ( t ) ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle ={d \over dt}\left(v^{k}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) + v k ( t ) d x j ( t ) d t ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))}