レムニスケート
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この記事には参考文献外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。(2017年12月)
ベルヌーイのレムニスケートと二つの焦点ベルヌーイのレムニスケートは、直角双曲線の垂足曲線(英語版)である。

レムニスケート(: lemniscate)は極座標の方程式 r 2 = 2 a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta }

で表される曲線である。連珠形(れんじゅけい)とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。

直交座標の方程式では ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0}

となる。

x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線はy=x,y=-xとなる。原点Oと 2 a , − 2 a {\displaystyle {\sqrt {2}}a,-{\sqrt {2}}a} でx軸と交わる(以下、この二点を「交点」と呼ぶ)。点 (±a, 0) は、レムニスケートの焦点(英:focus, -ci)と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「その任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定である。直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。また、中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。

ループ1つで囲まれる面積は a 2 {\displaystyle a^{2}} であり、2つ合わせて 2 a 2 {\displaystyle 2a^{2}} となる。曲線の弧長楕円積分によって表される。

レムニスケートはベルヌーイ兄弟によって最初に発見され、イタリアの数学者ファニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャーノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。
関連項目

レムニスケート周率



外部リンク.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}ウィキメディア・コモンズには、レムニスケートに関連するカテゴリがあります。

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『レムニスケート』 - コトバンク

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O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Lemniscate of Bernoulli”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Lemniscate/ . (英語)


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