レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである[注釈 1]。

10進法におけるn桁のレピュニットは R n = 10 n − 1 9 {\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}} の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn は素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 ( M n = 2 n − 1 ) {\displaystyle (M_{n}=2^{n}-1)} である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、英: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。
レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。
nの値と必ず含まれる約数


偶数 - 11

4の倍数 - 11 ・ 101

6の倍数 - 3・7・11・13・37


3の倍数 - 3 ・ 37

5の倍数 - 41 ・ 271

7の倍数 - 239 ・ 4649

17の倍数 - 2071723 ・ 5363222357
など
901型の例

前述の通り、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数の時、Rn は11で割り切れないから、R2 と　Rn　は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 n-1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると以下のようになる。

n（奇数）2 × nR2nR2nの値（2×n桁）R2 × RnR2 × Rnの値（n+1桁）R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n-1桁）R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
36R06111111＝R2 × R31221×917 ・ 13
510R101111111111R2 × R51222219091素数
714R1411111111111111R2 × R712222221909091素数
918R18111111111111111111R2 × R91222222221909090917 ・ 13 ・ 19 ・ 52579
1122R221111111111111111111111R2 × R11122222222221909090909111 ・ 23 ・ 4093 ・ 8779

nが偶数の時のR2n、その他 についての例は以下。

R12 = 11222211 × 9901

R20 = 1222210000122221 × 9091

R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001

R28 = 1222222100000012222221 × 909091

R36 = 111111222222222222111111× 999999000001

R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
など

R06 = 11 × (9091 + 1010)

R08 = 11 × (909091 + 101010)

R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

[3][4][5][6]

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この節の加筆が望まれています。

1と0のみで表す例

n(10n/2 ? 1) / 9[7]10n/2 + 1
R0211 × 1111
R041111 × 101101
R063 ・ 37111 × 10017 ・ 11 ・ 13
R0811 ・ 1011111 × 1000173 ・ 137
R1041 ・ 27111111 × 10000111 ・ 9091

n
R020001 × 111 × 11
R03#0001 × 111
R04$0001 × 111111 × 101
R05%0001 × 11111
R06&0001 × 111111111 × 1001
#0011 × 10101
R07*0001 × 1111111
R08$0011 × 10101011111 × 10001
R09#0111 × 1001001
R10%0011 × 10101010111111 × 100001
R12&0011 × 10101010101111111 × 1000001
$0111 × 1001001001
#1111 × 100010001
R14*0011 × 10101010101011111111 × 10000001

n
R061 × 111 × 100191 ・ 11
R1211 × 10101 × 10000019901 ・ 101
R18111 × 1001001 × 1000000001999001 ・ 1001
R241111 × 100010001 × 100000000000199990001 ・ 10001

n
R0411 × 101
R08101 × 110011
R121001 × 1110001111221001221 × 91
R1610001 × 111100001111
R20100001 × 1111100000111111222210000122221 × 9091
R241000001 × 1111110000001111111221001221001221001221 × 91

累乗数 ? 累乗数

[8]

nRn×(10n+1)
[9][10][11]
R0262 ? 5262 ? 5262 ? 52
R03562 ? 552562 ? 552
R04562 ? 4525562 ? 5552
R0555562 ? 55552
R065562 ? 4452555562 ? 55555250562 ? 504526562 ? 5652
R075555562 ? 5555552
R0855562 ? 444520G（省略）
R090F（省略）5005562 ? 5004452
R100E（省略）0E（省略）656562 ? 565652
R110D（省略）
R120C（省略）0C（省略）500055562 ? 500044452
R130B（省略）
R140C（省略）0A（省略）65656562 - 56565652

レピュニット素数

現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した[12]。

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し[13]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[14][リンク切れ]。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[15]。

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を[16]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した[17]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

Rn = (10n ? 1) / 9No.n年発見者素数判定
12--○
219--○
323--○
43171978Williams○
510311986Williams, Dubner○
6490811999Dubner○
7864532000Baxter-
81092972007Dubner-
92703432007Voznyy-
1057947772021Batalov, Ryan-
1181772072021Batalov, Ryan-

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)
レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている[18]。

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す[19]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

基数10 のレピュニットのRn(n=1~122)の素因数分解の表n※素因数分解
 
1001
2111 (素数)
3203 ・ 37
4211 ・ ?C101
5241 ・ 271
6503 ・ 07 ・ 11 ・ 13 ・ 37
72?C239 ・ 4649
8411 ・ 73 ・ ?C101 ・ 137
94032 ・ 37 ・ ?F333667