この項目「ループのアイソトピー」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：07:50, 29 September 2021）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2023年4月）

数学の 抽象代数学分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy) とは、ループ の代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

ループおよび準群のアイソトピーは、 Albert (1943) によって導入された。 [原文 1]
準群のアイソトピー

任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} と ( P , ∘ ) {\displaystyle (P,\circ )} を 準群 とする。Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下の条件を満たす者である。 α ( x ) ∘ β ( y ) = γ ( x ⋅ y ) ∀ x , y ∈ Q {\displaystyle \alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,\quad \forall x,y\in Q}

準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α, β, γ) が 全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー (α, β, γ) は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー (英: autotopy) は、 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}自己同型群 を部分群とする群を成す[訳語疑問点] [原文 2]。

主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る [原文 3]。
ループのアイソトピー

( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} と ( K , ∘ ) {\displaystyle (K,\circ )} をループとし、 ( α , β , γ ) : L → K {\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K} をアイソトピーとする。この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} と ( L , ∗ ) {\displaystyle (L,*)} の ( α 0 , β 0 , i d ) {\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)} と、同型写像 ( L , ∗ ) {\displaystyle (L,*)} と ( K , ∘ ) {\displaystyle (K,\circ )} 間の γ {\displaystyle \gamma } を使って、それらの合成[訳語疑問点] になっている[1]実際、 α 0 = γ − 1 α {\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha } , β 0 = γ − 1 β {\displaystyle \beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta } とおいて、演算を ∗ {\displaystyle *} by x ∗ y = α − 1 γ ( x ) ⋅ β − 1 γ ( y ) {\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)} で定義する。[要検証 – ノート]

( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} と ( L , ∘ ) {\displaystyle (L,\circ )} をループとし、e を 単位元 of ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} とする。さらに ( α , β , i d ) {\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)} を ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} to ( L , ∘ ) {\displaystyle (L,\circ )} への主アイソトピーとする。この時 α = R b − 1 {\displaystyle \alpha =R_{b}^{-1}} および β = L a − 1 {\displaystyle \beta =L_{a}^{-1}} ここで a = α ( e ) {\displaystyle a=\alpha (e)} and b = β ( e ) {\displaystyle b=\beta (e)} .[要検証 – ノート]