この項目では、数学におけるルート系について説明しています。植物の根系については「根」をご覧ください。
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単純リー群一覧表（英語版）
古典型
An
Bn
Cn
Dn
例外型
G2（英語版）
F4（英語版）
E6（英語版）
E7（英語版）
E8（英語版）
他のリー群（英語版）.mw-parser-output .plainlist--only-child>ol,.mw-parser-output .plainlist--only-child>ul{line-height:inherit;list-style:none none;margin:0;padding-left:0}.mw-parser-output .plainlist--only-child>ol li,.mw-parser-output .plainlist--only-child>ul li{margin-bottom:0}
円周（英語版）
ローレンツ
ポワンカレ
共形（英語版）
微分同相写像
ループ（英語版）
リー環
指数写像
随伴表現 .mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ・\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output .hlist-slash li:after{content:" /\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child:before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child:after{content:")\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}
(群
環)
キリング形式
指数（英語版）
Lie point symmetry（英語版）
単純リー環
半単純リー環
ディンキン図形
カルタン部分環
ルート系
ワイル群
実形（英語版）
複素化（英語版）
分裂型リー環（英語版）
コンパクトリー環（英語版）
等質空間
閉部分群（英語版）
放物型部分群（英語版）
対称空間（英語版）
エルミート対称空間（英語版）
制限ルート系（英語版）
表現論
リー群表現
リー環表現
物理学におけるリー群
素粒子物理学と表現論（英語版）
ローレンツ群表現（英語版）
ポワンカレ群表現（英語版）
ガリレイ群表現（英語版）
科学者
ソフス・リー
アンリ・ポアンカレ
ヴィルヘルム・キリング（英語版）
エリ・カルタン
ヘルマン・ワイル
クロード・シュヴァレー
ハリッシュ＝チャンドラ（英語版）
アルマン・ボレル
リー群一覧表（英語版）
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表
話
編
歴
数学において，ルート系（英: root system，仏: systeme de racines）とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群（や代数群のような類似物）やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系は（特異点論（英語版）のような）リー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はスペクトルグラフ理論におけるように，それ自身重要である[1]．
定義と基本的な例ルート系 A2 の6つのベクトル．
最初の例として，図に示されているような，2次元ユークリッド空間 R2 における6つのベクトルを考える．これらのベクトルは空間全体を張る．任意のルート β に垂直な直線を考えると，その直線による R2 の鏡映は任意の他のルート α を別のルートに写す．さらに，写り先は α + nβ に等しい，ただし n は整数である（この場合 n は 1 である）．これら6つのベクトルは以下の定義を満たし，したがってルート系をなす；このルート系は A2 と呼ばれる．
