下記テーマに関する記事の一部
解析学


基本定理


関数の極限

連続性


平均値の定理

微分法

定義


導関数 (一般化（英語版）)


微分

無限小

関数の

全


概念


微分の記法

二階導関数（英語版）

三階導関数（英語版）

変数変換（英語版）

陰関数の微分

Related rates（英語版）

テイラーの定理

法則と恒等式（英語版）


和（英語版）

積

合成

冪（英語版）

商

一般ライプニッツ

ファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）


積分法

積分一覧

定義


不定積分

積分 (広義)

リーマン積分

ルベーグ積分

線積分

複素線積分

道具


部分

Discs（英語版）

円殻（バウムクーヘン）（英語版）

置換 (三角置換（英語版）)

部分分数（英語版）

順序（英語版）

漸化式（英語版）


級数

幾何 (算術幾何)

調和

交代

冪

二項

テイラー

収束判定法（英語版）


項の極限（項判定法）（英語版）

比

冪根

積分

比較


極限比較（英語版）

交代級数（英語版）

凝集

ディリクレ

アーベル（英語版）


ベクトル

勾配

発散

回転

ラプラシアン

方向微分

公式（英語版）

定理


発散

勾配（英語版）

グリーン

ケルビン・ストークス


多変数

形式と枠組み


行列（英語版）

テンソル

外

幾何学的（英語版）

定義


偏微分

多重積分

線積分

面積分

体積分

ヤコビアン

ヘッセ行列


特殊化

分数階微積分

解析接続

マリアヴァン（英語版）

確率（英語版）

変分

その他

解析学記号



表

話

編

歴

正値関数の積分は曲線の下部と軸で囲まれた部分（図の青く塗られた部分）の面積と解釈できる。

数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと x 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、英: Lebesgue integral）とは、より多くの関数を積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。

数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかしながら、より不規則な関数を考える必要が、例えば解析学や確率論において極限を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、局所コンパクト群のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。

ルベーグ積分は実解析と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者アンリ・ルベーグ[1][2] (Henri Lebesgue, 1875?1941) に由来している。