数学の一分野である表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数を行列の集合（ベクトル空間の準同型）として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。

考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。

リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。
公式な定義

リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} からベクトル空間 V 上の準同型のリー代数への準同型(Lie algebra homomorphism) ρ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}

であり、交換子をリーブラケットとして持ち、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元 x を g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} の元 ρx へ写像する。

明らかに、このことは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中のすべての x,y に対し、 ρ [ x , y ] = [ ρ x , ρ y ] = ρ x ρ y − ρ y ρ x {\displaystyle \rho _{[x,y]}=[\rho _{x},\rho _{y}]=\rho _{x}\rho _{y}-\rho _{y}\rho _{x}}

であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群と呼ばれる（用語を省略し、V を表現ということも多い）。

表現 ρ {\displaystyle \rho } が単射のとき、忠実(faithful)と呼ばれる。

同値な定義であるが、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群をベクトル空間 V と双線型写像 g × V → V {\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V} と定義し、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、 [ x , y ] ⋅ v = x ⋅ ( y ⋅ v ) − y ⋅ ( x ⋅ v ) {\displaystyle [x,y]\cdot v=x\cdot (y\cdot v)-y\cdot (x\cdot v)}

であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρx (v) と置くと上の定義に関係付く。
例
随伴表現詳細は「リー代数の随伴表現」を参照

リー代数の表現の最も基本的な例は、リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の自分自身の上での随伴表現 ad : g → g l ( g ) , x ↦ ad x , ad x ⁡ ( y ) = [ x , y ] . {\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto \operatorname {ad} _{x},\quad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y].}

である。実際、ヤコビ恒等式により、 ad {\displaystyle \operatorname {ad} } はリー代数の準同型である。
無限小リー群表現

リー代数の表現は自然に発生する。φ: G → H を（実、もしくは、複素）リー群の準同型とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} と h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} をそれぞれ G と H のリー代数とすると、恒等元上での接空間上の微分（英語版）(differential) d ϕ : g → h {\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} はリー代数の準同型である。特に、有限次元ベクトル空間 V に対して、リー群の表現 ϕ : G → G L ( V ) {\displaystyle \phi :G\to \mathrm {GL} (V)}

は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} から一般線型群 GL(V) つまり、V の自己準同型の代数へのリー代数の準同型 d e ϕ : g → g l ( V ) {\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}