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リーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホのていり、英: Riemann?Roch theorem）とは、複素解析学や代数幾何学などで用いられる、閉リーマン面上の複素解析と曲面の種数とを結びつける定理である。特定の位数の零点と極をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。

まず、ベルンハルト・リーマンがRiemann (1857)でリーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、Roch (1865)で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。.mw-parser-output .toclimit-2 .toclevel-1 ul,.mw-parser-output .toclimit-3 .toclevel-2 ul,.mw-parser-output .toclimit-4 .toclevel-3 ul,.mw-parser-output .toclimit-5 .toclevel-4 ul,.mw-parser-output .toclimit-6 .toclevel-5 ul,.mw-parser-output .toclimit-7 .toclevel-6 ul{display:none}
準備
リーマン面詳細は「リーマン面」を参照種数 3 の閉リーマン面

リーマン面 X {\displaystyle X} とは、局所的には複素数の集合 C の開部分集合と同相である位相空間を言う；加えて、これらの開集合の間に正則な変換写像があることが要請される。正則性条件により C 上の正則関数や有理型関数を扱う複素解析学の考え方や方法を曲面 X {\displaystyle X} へ移すことが可能となる。コンパクトなリーマン面を閉リーマン面という。

閉リーマン面の種数 g {\displaystyle g} とは、くだけた言い方をするとハンドル（把手）の数のことである。例えば右の図に示した閉リーマン面の種数は 3 である。より正確には、種数は1次ベッチ数の半分として、つまり、複素係数1次特異ホモロジー群 H1(X, C) の C-次元の半分として定義される。種数は閉リーマン面を同相の違いを除いて分類（英語版）する。すなわち、閉リーマン面が同相であること（ただし微分同相である必要はない）と、種数が等しいこととは同値である。したがって、種数は閉リーマン面の基本的な位相不変量である。他方、ホッジ理論は、 X {\displaystyle X} の種数と X {\displaystyle X} 上の正則1形式がなす空間の(C-)次元とが一致することを示しているので、種数はリーマン面の複素解析的な情報を持っているともいえる[1]。
因子詳細は「因子 (代数幾何学)」を参照

因子とは、曲面 X 上の点を基底とする自由アーベル群 Div(X) の元、つまり、曲面上の点に関する整数係数の形式的な有限和である。因子 D の係数がすべて非負であるものは有効因子と呼ばれ、D ≥ 0 と表される。

閉リーマン面 X 上の有理型関数 f ≠ 0 に対し、因子 (f) を次で定める。 ( f ) := ∑ z ∈ R ( f ) s z z {\displaystyle (f):=\sum _{z\in R(f)}s_{z}z}

ここで台 R(f) は f のすべての零点と極からなる集合で、係数 sz は s z := a {\displaystyle s_{z}:=a} （ z が位数 a の零点のとき） s z := − a {\displaystyle s_{z}:=-a} （ z が位数 a の極のとき）

で与えられる。この台 R(f) は有限集合であることが知られている；これは X がコンパクトであることと、（ゼロでない）正則関数の零点集合は集積点を持たないという事実（一致の定理）の結果である。したがって (f) はwell-definedである。この形の因子を主因子と呼ぶ。また主因子の分だけ異なる因子は線型同値であるという。

また、因子 D の次数、つまり、D のすべての係数の和を deg(D) で表す。主因子の次数は 0 であることが示せるので[2]、因子の次数は線型同値類にのみ依存している。

有理型1形式 ω = f dz ≠ 0 の因子 (ω) も同様に、つまり (ω) = (f) で定義される。大域的な有理型1形式の因子を（記号 K で普通表し）標準因子と呼ぶ。任意の有理型1形式の因子は線型同値なので、標準因子は線型同値を除いて一意に定まる（よって、標準因子と呼ぶ）。

次で定義される C 上のベクトル空間 L(D) の次元 l ( D ) {\displaystyle l(D)} がもっとも興味のある量である： L ( D ) = { 0 ≠ f ∈ M ( X ) ∣ ( f ) + D ≥ 0 } ∪ { 0 } . {\displaystyle L(D)=\{\,0\neq f\in M(X)\mid (f)+D\geq 0\,\}\cup \{0\}.}

ここで M(X) は閉リーマン面 X 上の有理型関数のなす体である。つまり、もし点 z で因子 D の係数 sz が負ならば関数 0 ≠ f ∈ L(D) は点 z で位数が −sz 以上の零点を持ち、正ならば点 z で位数が sz 以下の極を持つ。主因子(h)によって線型同値な2つの因子に付随するこれらのベクトル空間は、h倍する操作によって自然に同型となる。
古典的なリーマン・ロッホの定理
主張

X {\displaystyle X} を種数 g の閉リーマン面、K を標準因子とすると、任意の因子 D ∈ Div ⁡ ( X ) {\displaystyle D\in \operatorname {Div} (X)} に対し l ( D ) − l ( K − D ) = deg ⁡ ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg(D)+1-g}

が成り立つ[3]。
解説

典型的には l ( D ) {\displaystyle l(D)} が興味のある量であり、 l ( K − D ) {\displaystyle l(K-D)} は補正項と考えることができる。（特殊指数とも呼ぶ[4]。）したがって、定理は大まかに言い換えると、次元 − 補正 = 次数 + 1 − g.

特に補正項 l ( K − D ) {\displaystyle l(K-D)} は非負であるから l ( D ) ≥ deg ⁡ ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)\geq \deg(D)+1-g}

となる。これをリーマンの不等式と呼ぶ。定理の中の「ロッホの部分」は、不等式の両辺の間のありうる差異の記述の部分である。種数 g のリーマン面の標準因子 K は次数 2g − 2 であり、因子を定める有理型1形式の取り方には依存しない。これは、定理中で D = 0 とすればよい。特に、D の次数が 2g − 1 以上のとき補正項は 0 となるので、 l ( D ) = deg ⁡ ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)=\deg(D)+1-g}

となる。

以下では、種数が小さいときに定理の説明をしている。他にも密接に関連した定理が数多くあり、直線束を使った同値な定式化や、代数曲線への一般化などがある。
例

閉リーマン面上の点 P をとり、次の数列を考えることで種数が小さいときに定理の説明する。 l ( n P ) ( n ≥ 0 ) {\displaystyle l(nP)\qquad (n\geq 0)}

すなわち、この値は、点 P を除く各点で正則であり、点 P で位数が n 以下の極を持つ関数のなす空間の次元である。したがって n = 0 の場合、関数は曲面 X 全体で正則な関数、つまり整関数であることが要求される。リウヴィルの定理から、そのような関数は定数関数に限るので、 l ( 0 ) = 1 {\displaystyle l(0)=1} となる。