リュカ数（リュカすう、英: Lucas number）とは、フランスの数学者エドゥアール・リュカに因んで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を Ln で表すと L 0 = 2 , L 1 = 1 , {\displaystyle L_{0}=2,\ L_{1}=1,} L n + 2 = L n + L n + 1 {\displaystyle L_{n+2}=L_{n}+L_{n+1}}
で定義される数列にある項のことである。つまり、初項（最初のリュカ数）を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001.（オンライン整数列大辞典の数列 A000032 漸化式 Ln+2 = Ln + Ln+1 を全ての整数 n に対して適用すると、n が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ? n ? 5 に対するリュカ数は次の値になる。-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11 さらに、一般には L-n = (-1)nLn となる。 リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 Fn との間に多くの関係式があり、例として L n = F n − 1 + F n + 1 {\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}} F 2 n = L n F n {\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}} F n = L n − 1 + L n + 1 5 {\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}} などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 Ln/Fn は、n が大きくなるにつれて √5 = 2.23606798… に収束する。 フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 Ln+1/Ln は n が大きくなるにつれて黄金比 ϕ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} = 1.61803398… に近づく。 n 番目のリュカ数は以下の式で表される。 L n = ( 1 + 5 2 ) n + ( 1 − 5 2 ) n = ϕ n + ( 1 − ϕ ) n = ϕ n + ( − ϕ ) − n {\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}={\phi ^{n}+(-\phi )^{-n}}} ここで ϕ {\displaystyle \phi } は黄金比である。 リュカ素数（リュカそすう、英: Lucas prime）とは、リュカ数である素数である。 リュカ素数 Ln の最初のいくつかの項は以下の通りである。2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ….（オンライン整数列大辞典の数列 A005479 Ln の n は以下の通りである。0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ….（オンライン整数列大辞典の数列 A001606 n = 0, 4, 8, 16 の場合を除いて、Ln が素数ならば n も素数である[1]。しかし、n が素数でも、Ln が素数になるとは限らない。
最初の50項
負の番号への拡張
数学的性質
リュカ素数
参考文献
中村滋『フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス） フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社、2002年9月。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 4-535-78281-4。
中村滋『フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス） フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』（改訂版）日本評論社、2008年1月。ISBN 978-4-535-78492-5。
Carmichael, R. D. (1913), “On the numerical factors of the arithmetic forms αn±βn”
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?
1 + 2 + 3 + 4 + ?
無限算術級数
等比数列
収束級数
'"`UNIQ--templatestyles-00000021-QINU`"'1/2 ? 1/4 + 1/8 ? 1/16 + ?
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ?
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ?
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?