解析学におけるリプシッツ連続性（リプシッツれんぞくせい、英: Lipschitz continuity）は、ルドルフ・リプシッツに名を因む、函数のより強い形の一様連続性である。直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」（あるいは一様連続度（英語版））と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである[1]。

微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール?リンデレフの定理の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。

実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.

また、リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能

も成り立つ。
定義リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。

dX は集合 X 上の距離函数、dY は集合 Y 上の距離函数として二つの距離空間 (X, dX) と (Y, dY) が与えられたとき（例えば、Y を実数全体の成す集合 R に距離函数 dY(x, y) = |x ? y| を入れたもの、および X を R の部分集合とすることができる）。このとき、写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) ( ∀ x 1 , x 2 ∈ X ) {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},x_{2})\quad (\forall x_{1},x_{2}\in X)}

を満たすときに言う。このような K, あるいはそのうち最小のものを、関数 f のリプシッツ定数と呼ぶ。K = 1 ととることができるとき、その関数は非拡大写像（英語版）と呼ばれ、K < 1 なら縮小写像と呼ばれる。

この不等式は x1 = x2 のとき（自明な意味で）成り立つ。これを除けば、写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ? 0 が存在して、 d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) d X ( x 1 , x 2 ) ≤ K ( ∀ x 1 , x 2 ∈ X ) {\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K\quad (\forall x_{1},x_{2}\in X)}

を満たすこととすることもできる。実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。

写像 f が局所リプシッツ連続であるとは、任意の x ∈ X に対して x の近傍 U を適当に選べば f の U への制限 がリプシッツ連続であるときに言う。あるいは同じことだが、X が局所コンパクト距離空間ならば、f が局所リプシッツであるための必要十分条件は X の任意のコンパクト部分集合上でリプシッツ連続となることである。局所コンパクトでないときには、これは必要だが十分でない。

より一般に、X 上で定義された関数 f がヘルダー連続である、または X 上で次数 α > 0 のヘルダー条件を満足するとは、定数 M > 0 が存在して d Y ( f ( x ) , f ( y ) ) < M d X ( x , y ) α ( ∀ x , y ∈ X ) {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))<M\,d_{X}(x,y)^{\alpha }\quad (\forall x,y\in X)}

が成立するときにいう。次数 α > 0 のヘルダー条件を次数 α の一様リプシッツ条件とも呼ぶ。

K ? 1 が存在して 1 K d X ( x 1 , x 2 ) ≤ d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{K}}\,d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},x_{2})}

が成り立つならば、f は双リプシッツ連続あるいは単に双リプシッツ (bilipshitz) であると言う。双リプシッツ連続写像は単射であり、また実はその像の上への同相写像である。双リプシッツ連続であることは、その（像の上で定義される）逆写像もリプシッツであるような単射リプシッツ連続写像であることと同じである。全射な双リプシッツ連続写像は、ちょうど距離空間の間の同型写像になる。
例
リプシッツ連続函数


実数全体で定義された函数 f(x) = √x2 + 5 はリプシッツ定数 K = 1 を持つリプシッツ函数である。実際これは至る所微分可能で、その一階導函数の絶対値は 1 で抑えられる（後述の#性質節最初の項目を参照）。

同様に正弦函数 sin(x) もリプシッツ連続である。これもその導函数（つまり余弦函数 cos(x) ）が絶対値に関して 1 で抑えられることによる。

実数全体で定義された函数 f(x) = |x| はリプシッツ定数 1 のリプシッツ連続函数である（逆向きの三角不等式による）。これは微分可能でないリプシッツ連続函数の例である。より一般に、ベクトル空間上で定義されたノルムは、付随する距離函数に関するリプシッツ連続函数（リプシッツ定数 1）である。

リプシッツ連続だが至る所微分可能とはならない例


f(x) = |x|（上記参照）

連続だが（大域的）リプシッツ連続でない


閉区間 [0, 1] 上定義された函数 f(x) = √x はリプシッツ連続でない。この函数は x → 0 の極限で、導函数が無限大に発散するから、いくらでも傾きが急になる。にも拘らずこの函数は一様連続[3]であり、かつ α ? 1/2 に対して C0,α-級ヘルダー連続である。

可微分だが（大域）リプシッツ連続でない


函数 f(x) = x3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0, 1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。

解析的だが（大域）リプシッツでない


指数函数は x → ∞ でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。

実数全体で定義された函数 f(x) = x2 はリプシッツでない（x → ∞ でいくらでも傾きが大きくなる）。しかしこれは局所リプシッツである。

性質

至る所微分可能な函数 g: R → R がリプシッツ連続（リプシッツ定数 K = sup|g'(x)| を持つ）であるための必要十分条件は、それが有界な一階導函数を持つことである。一方の含意は平均値の定理から従う。特に、任意の連続的微分可能な函数は局所リプシッツである（連続函数は局所有界だから、その連続な導函数も局所有界である）。

リプシッツ函数 g: R → R は絶対連続であり、したがって殆ど至る所微分可能（つまりルベーグ測度 0 の集合の外側の任意の点で微分可能）である。その導函数は絶対値がリプシッツ定数を本質的上界として本質的有界（英語版）である。また、a < b に対して、差分 g(b) ? g(a) は導函数 g' の区間 [a, b] 上の積分に等しい。

逆に、f: I → R が絶対連続、従って殆ど至る所微分可能であるとし、|f'(x)| ? K (a.a. x ∈ I) を満たすならば、f はリプシッツ定数が高々 K のリプシッツ連続である。

より一般にラーデマッハーの定理は、この結果をユークリッド空間の間のリプシッツ写像に対して拡張する。U を Rn の開集合として、リプシッツ写像 f: U → Rm が殆ど至る所微分可能とする。さらに K が f の最小のリプシッツ定数とすれば、全微分 Df が存在する限り ‖ Df ‖ ≤ K が成立する。


可微分リプシッツ写像 f: U → Rm に対し、不等式 ‖ Df ‖∞,U ≤ K が f の最小リプシッツ定数 K について成り立つ。さらに、U が凸ならば等号が成り立つ。

二つの距離空間の間のリプシッツ連続写像の列 (fn) は、各 fn が適当な定数 K で抑えられるリプシッツ定数を持つものとする。