リアプノフ指数（リアプノフしすう、英: Lyapunov exponent）とは、力学系においてごく接近した軌道が離れていく度合いを表す量である。リャプノフ指数とも表記される[1]。ロシア人科学者 Алекса?ндр Ляпуно?в（アレクサンドル・リプノーフ、Aleksandr Lyapunov）にその名をちなむ[2]。

系の相空間上の2つの軌道について考える。2つの軌道上の時刻 t における点の距離をベクトル δ(t) として、初期状態 t = 0 には、これらの軌道は距離 δ(0) だけ離れているとする。δ(t) を近似的に次のように表す[3][4][5]。 ‖ δ ( t ) ‖ ≈ ‖ δ ( 0 ) ‖ e λ t {\displaystyle \|{\boldsymbol {\delta }}(t)\|\approx \|{\boldsymbol {\delta }}(0)\|e^{\lambda t}}

ここで ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} はユークリッドノルムを意味する。上式で λ > 0 の場合は軌道は離れていき、 λ < 0 の場合は軌道は近づいていく。よって、軌道が離れていく度合いは λ の値により決定される。この λ がリアプノフ指数である[4][5]。軌道がカオス的であるとき、上式のように軌道は指数関数的に離れていく[6][7]。すなわち、リアプノフ指数が正であることが軌道がカオス的であることの1つの定義とされる[8]。

より詳細には、系の状態変数が k 個（k > 1）の場合、すなわち相空間が k 次元である場合は各次元ごとに固有のリアプノフ指数を持つ[9]。これらのリアプノフ指数の組をリアプノフスペクトラムと呼び[10]、そのうちの最大のリアプノフ指数を最大リアプノフ指数と呼ぶ[11]。各々のリアプノフ指数を見れば正であったり負であったりするが、最大リアプノフ指数が正であれば、その系はカオスの特徴の1つである初期値鋭敏性を持つといえる[12][11]。
1次元離散時間力学系のリアプノフ指数

まず、単純な1次元離散力学系の場合のリアプノフ指数について説明する。 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } を系の状態変数、 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } を離散時間としたとき（ここでは N {\displaystyle \mathbb {N} } は0を含む）、 写像 xn+1 = f(xn) のリアプノフ指数 λ は次のように定義される[13][6][14][15]。 λ = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln ⁡ 。 f ′ ( x i ) 。 {\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}

ここで、ln は自然対数を意味する。上式は次のように導入される。

初期位置を x0 とする。さらに、x0 からの微小量 λ0 ずれた点 x0 + λ0 を考える。