吉住渉の漫画については「ランダム・ウォーク (漫画)」をご覧ください。
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出典検索?: "ランダムウォーク" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2011年5月）
2次元ランダムウォークの軌跡。

ランダムウォーク（英: random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は酔歩（すいほ）、乱歩（らんぽ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス[1][2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。
数学的定義

X n {\displaystyle X_{n}} ( n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\dots } ) を独立かつ同分布な R d {\displaystyle \mathbf {R} ^{d}} 値確率変数族とする。この時、 S n = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}

を（ d {\displaystyle d} 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、 X n {\displaystyle X_{n}} が Z d {\displaystyle \mathbf {Z} ^{d}} 値であり、かつ、 P ( X n = e j ) = P ( X n = − e j ) = 1 2 d {\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}}

（ e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} は、第 j {\displaystyle j} 成分が 1 の単位ベクトル）である時、Sn を（ d {\displaystyle d} 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている[3][4]。
例確率密度関数 f ( x ) = 1 π x ( 1 − x ) {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}} のグラフ

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合 x {\displaystyle x} の分布は、 1 π x ( 1 − x ) {\displaystyle {\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}} の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は 1 − x {\displaystyle 1-x} ）。これは x = 0 {\displaystyle x=0} および x = 1 {\displaystyle x=1} で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる[5][6]。
基本的性質
再帰性1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。[7][8]