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出典検索?: "ラグランジュ力学" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2011年7月）

古典力学
F = d d t ( m v ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}
運動の第2法則
歴史（英語版）

分野

静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学

定式化


ニュートン力学

解析力学:

ラグランジュ力学

ハミルトン力学

基本概念

空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理

主要項目

剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度

科学者

ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

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表

話

編

歴

ラグランジュ力学（ラグランジュりきがく、英語：Lagrangian mechanics）は、一般化座標とその微分を基本変数として記述された古典力学である。フランスの物理学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが創始した。後のハミルトン力学と同様にニュートン力学を再定式化した解析力学の一形式である。
概要

ラグランジュ形式の解析力学は最小作用の原理によって構成される。元々はニュートン的な力学の分野において成立したが、電磁気学や相対性理論でも応用することが出来て、これらの分野における基礎方程式（マクスウェル方程式、アインシュタイン方程式）を導き出すことが出来る。また、量子力学においても、経路積分の方法は最小作用の原理に関連して考え出された方法である。

ラグランジュ形式では一般化座標によって記述されており、変数の取り方が任意である。ニュートンの運動方程式はベクトルの方程式であり、デカルト座標以外では煩雑な座標変換が必要となるが、ラグランジュ形式においてはラグランジアンはスカラーであり座標変換が簡単である。

実際の計算上でも、例えば長さが一定の振り子などで円周上を運動する場合には、平面内の運動なのでニュートンの運動方程式では2つの方向の2変数が必要となるが、ラグランジュ形式では一般化座標として角度を選ぶことにより1変数の方程式が得られる。もちろんニュートンの運動方程式はラグランジュ形式と等価なので適当な変換により同じ式が得られるが、ラグランジュ形式では直接得られる点で便利である。
定式化

ラグランジュ形式において、力学系の運動状態を指定する力学変数は一般化座標 q ( t ) = ( q 1 ( t ) , … ) {\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )} である。力学系の性質は一般化座標とその微分（一般化速度）、および時間を変数とする関数 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) {\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)} によって記述される。この力学系の性質を記述する関数 L はラグランジュ関数（ラグランジアン）と呼ばれる。

ラグランジュ形式において、作用汎関数はラグランジュ関数の時間積分

S [ q ] = ∫ t I t F L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S[q]=\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt}

として与えられる。一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、そこから実際の運動を導く方法が最小作用の原理である。すなわち、作用汎関数が最小となる運動が実際に起こる運動である[注釈 1]。

作用の停留条件から、ラグランジュの運動方程式（オイラー＝ラグランジュ方程式[注釈 2]）

δ S [ q ] δ q i ( t ) = ∂ L ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ˙ i = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[q]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0}

が得られる。これはニュートンの運動方程式と同等である。
運動量

一般化座標に共役な一般化運動量は、ラグランジアンの一般化速度による偏微分

p i ≡ ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}

によって定義される。これは並進対称性から導かれる保存量である。

一般化運動量を用いると、ラグランジュの運動方程式は

p ˙ i = ∂ L ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}

となる。ニュートンの運動方程式との比較から、右辺は一般化された力と見ることも出来る。

ハミルトン形式では一般化座標と一般化運動量によって記述されている。一般化運動量は正準共役量であり、共役運動量や正準運動量と呼ばれることもある。
ラグランジュ関数

ラグランジュ関数（ラグランジアン、Lagrangian）は、物理的な力学系の動力学を記述するために用いられる関数である。ラグランジアン L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} は一般に運動エネルギー T とポテンシャル V の差

L ( q , q ˙ , t ) = T − V {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=T-V}

の形で書かれる。

ラグランジアンはエネルギーの次元を持つスカラーであるが、観測可能な物理量ではなく、その値自体に物理的な意味があるわけではない。特に、座標と時間の任意関数 f ( q , t ) {\displaystyle f(q,t)} の時間による全微分を加える変換

L ′ ( q , q ˙ , t ) = L ( q , q ˙ , t ) + d d t f ( q , t ) {\displaystyle L'(q,{\dot {q}},t)=L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {d}{dt}}f(q,t)}