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ラグランジュの未定乗数法（ラグランジュのみていじょうすうほう、英: method of Lagrange multiplier）とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数（未定乗数、Lagrange multiplier）を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数（未定乗数も新たな変数とする）として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。
定理

ラグランジュの未定乗数法は、次のような定理として記述される。
2次元の場合

束縛条件 g(x, y) = 0 の下で、f(x, y) が最大値となる点 (a , b) を求める問題、つまりmaximize f ( x , y ) , {\displaystyle f(x,y),} subject to g ( x , y ) = 0 {\displaystyle g(x,y)=0}

という問題を考える。ラグランジュ乗数を λ とし、

F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) − λ g ( x , y ) {\displaystyle F(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y)}

とおく。点 (a, b) で .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}∂g/∂x と ∂g/∂y の少なくとも一方が 0 でないならば、α が存在して点 (a, b, α) で ∂ F ∂ x = ∂ F ∂ y = ∂ F ∂ λ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {\partial F}{\partial y}}={\frac {\partial F}{\partial \lambda }}=0}

が成り立つ[1]。
一般の多次元の場合

n 次元空間の点 x = (x1, …, xn) のある領域 R を定義域とする被評価関数 z = f(x) が、同じ領域を定義域とする m 次元ベクトル値関数 G ( x ) = ( g 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ g m ( x 1 , … , x n ) ) = 0 ( 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}})={\begin{pmatrix}g_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\g_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}={\boldsymbol {0}}\qquad (1)}

の下で、R 内の点 x において極値をとるための必要条件は、その点における f の勾配ベクトル ∇ f = t ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle \nabla f={}^{t}{\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\dfrac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}

が、その点で、m 個の gi それぞれの勾配ベクトルが張る m 次元線型部分空間に含まれること、すなわち、スカラーの組 λ = (λ1, …, λm) を用いて、 ∇ f = ∑ i = 1 m λ i ∇ g i ( 2 ) {\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\nabla g_{i}\qquad (2)}