代数的構造 → 群論
群論

基本概念

部分群

正規部分群


商群

（半）直積

群準同型


核

像

直和


リース積

単純

有限


無限（英語版）

連続

乗法


加法

巡回

アーベル

二面体


冪零

可解


群論の用語



群論のトピックス一覧


有限群

有限単純群の分類


巡回

交代

リー型（英語版）

散在（英語版）



コーシーの定理

ラグランジュの定理


シローの定理

ホールの定理


p 群

基本アーベル群


フロベニウス群（英語版）


シューア multiplier（英語版）



対称群 Sn


クラインの四元群 V

二面体群 Dn

四元数群 Q8

二重巡回群 Dicn


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離散群

格子


整数 (Z)

格子
モジュラー群

PSL(2, Z)

SL(2, Z)

位相 / リー群

ソレノイド（英語版）

円周


一般線型 GL(n)


特殊線型 SL(n)


直交 O(n)


ユークリッド E(n)


特殊直交 SO(n)


ユニタリ U(n)


特殊ユニタリ SU(n)


斜交 Sp(n)


G2（英語版）

F4（英語版）

E6（英語版）

E7（英語版）

E8


ローレンツ

ポアンカレ

共形（英語版）


微分同相

ループ（英語版）
無限次元リー群（英語版）

O(∞)

SU(∞)

Sp(∞)

代数群

楕円曲線


線型代数群


アーベル多様体

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である[1][2][3][4]。

ラグランジュの定理 ― G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき |G。= [G : H] |H。が成り立つ。ただし、[G : H] は G における H の指数である。

[G : H] に関しては#同値類による指数を参照。
定義
部分群による同値関係

群 G の要素 x, y に関して、群 G の部分群 H の要素 h を用いて、x = yh となるとき、x ? y と定義する。G の単位元を e とすると、H は部分群だから e ∈ H であり、x = xe となるので、x ? x である。h ∈ H のとき、H は部分群だから h?1 ∈ H となるので、x ? y のとき、x = yh ⇔ xh?1 = y となり y ? x である。x, y, z ∈ G に関して、x ? y, y ? z ならば x = yh1, y = zh2 (h1, h2 ∈ H) だから x = (zh2)h1 = z(h2h1) となる。H は部分群なので、h2h1 ∈ H となるから x ? z である。したがって、? は同値関係になる[5][6][7][8]。