数学、特に一般的な位相幾何学において、ユークリッド位相（ユークリッドいそう、Euclidean topology）は n {\displaystyle n} -次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上で定義されるユークリッド距離から誘導される自然な位相である。
定義

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 ‖ ⋅ ‖ : R n → R {\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } で以下のように定義される: ‖ ( p 1 , … , p n ) ‖   :=   p 1 2 + ⋯ + p n 2 . {\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.} 他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が d ( p , q ) = ‖ p − q ‖ {\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|} で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離 d : R n × R n → R {\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点 p = ( p 1 , … , p n ) {\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)} と q = ( q 1 , … , q n ) {\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)} は: d ( p , q )   =   ‖ p − q ‖   =   ( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + ⋯ + ( p i − q i ) 2 + ⋯ + ( p n − q n ) 2 . {\displaystyle d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.} 任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。[1] R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。すなわち、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球 B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} の和集合で与えられる。ここで B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} は、 B r ( p ) := { x ∈ R n : d ( p , x ) < r } ( 0 < r ∈ R , p ∈ R n ) {\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\}(0<r\in \mathbb {R} ,p\in \mathbb {R} ^{n})}

( d {\displaystyle d} はユークリッド距離)で定義される。
性質

この位相が与えられたとき、 実数直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } はT5 空間である。 A ¯ ∩ B = A ∩ B ¯ = ∅ {\displaystyle {\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing } を満たす R {\displaystyle \mathbb {R} } の部分集合 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} が与えられたとき(ここで A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} は A {\displaystyle A} の閉包)、開集合 S A {\displaystyle S_{A}} , S B {\displaystyle S_{B}} が存在して、 A ⊆ S A {\displaystyle A\subseteq S_{A}} , B ⊆ S B {\displaystyle B\subseteq S_{B}} , S A ∩ S B = ∅ {\displaystyle S_{A}\cap S_{B}=\varnothing } となる。