ヤン＝ミルズ理論（ヤン＝ミルズりろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである[1]。

なお、その少し前にヴォルフガング・パウリ[2][3]と内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。
概要

この理論は元々、ワイルらによって研究が進められていた可換対称性に基づくゲージ理論を、非可換対称性にまで発展させた理論である。非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としてはチャーン＝サイモンズ理論などがある。

この理論は最初、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に着目して構築された模型である[1]。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも自発的に破れた弱アイソスピンとハイパーチャージのSU(2)×U(1)対称性に受け継がれているといえる（ワインバーグ＝サラム理論）。このように対称性が破れる模型もヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。

現在の典型的なヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学である。また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく大統一理論などがある。超対称性を持つように拡張される場合もあり、超対称ヤン＝ミルズ理論（super Yang-Mills theory、SYM）と呼ばれる。各種超対称性理論の基礎として、また超弦理論との関係などから、現在盛んに研究されている。理論模型としては、ゲージ場だけで物質場を含まない模型は純粋なヤン＝ミルズ理論（pure Yang-Mills theory）と呼ばれる。

また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、カルツァ＝クライン理論や超弦理論がある。
内容

ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群をゲージ対称性に持つゲージ理論である。

パラメータ ϵ a {\displaystyle \epsilon ^{a}} で特徴付けられるリー群

G ( ϵ ) = exp ⁡ ( i ϵ a T a ) {\displaystyle G(\epsilon )=\exp(i\epsilon ^{a}T^{a})}

を考える。ここで、T はリー群の生成子である。群の非可換性を反映して生成子のリー代数は

[ T a , T b ] = i f a b c T c {\displaystyle [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}}

となる。f は群の構造定数である。
ゲージ変換

局所化されたパラメータ ξ a ( x ) {\displaystyle \xi ^{a}(x)} で特徴付けられるゲージ変換の下で、リー群の表現の添え字 i をもつ場 ϕ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)} は

ϕ i ( x ) ↦ ϕ i ′ ( x ) = [ G ( g ξ ( x ) ) ] i j ϕ j ( x ) = [ exp ⁡ ( i g ξ a ( x ) T a ) ] i j ϕ j ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)\mapsto \phi '_{i}(x)=[G(g\xi (x))]_{ij}\phi _{j}(x)=[\exp(ig\xi ^{a}(x)T^{a})]_{ij}\phi _{j}(x)}

と変換される。パラメータの一次を考えると

δ ξ ϕ ( x ) = i g ξ a ( x ) T i j a ϕ j ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=ig\xi ^{a}(x)T_{ij}^{a}\phi _{j}(x)}