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「ヤコビ法 (固有値問題)」とは異なります。

ヤコビ法（ヤコビほう）とは n {\displaystyle n} 元の連立一次方程式 A x → = b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} を反復法で解く手法の1つである。ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの名前にちなむ。

n {\displaystyle n} 次正方行列 A {\displaystyle A} は、上三角行列 U {\displaystyle U} 、下三角行列 L {\displaystyle L} 、対角行列を D {\displaystyle D} とすると、 A = L + D + U {\displaystyle A=L+D+U} と書ける。このようにすると、まず以下のような変形ができる。 ( L + D + U ) x → = b → D x → = b → − ( L + U ) x → {\displaystyle {\begin{array}{ccc}(L+D+U){\vec {x}}&=&{\vec {b}}\\D{\vec {x}}&=&{\vec {b}}-(L+U){\vec {x}}\\\end{array}}}

この式を満たす   x {\displaystyle \ x} を求める。初期値 x → ( 0 ) {\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}} に対して、   k {\displaystyle \ k} 回目の反復で得られた x 1 {\displaystyle x_{1}} の値を x 1 ( k ) {\displaystyle x_{1}^{(k)}} と書くと、以下のような反復法の漸化式ができる。 D x → ( k + 1 ) = b → − ( L + U ) x → ( k ) {\displaystyle D{\vec {x}}^{(k+1)}={\vec {b}}-(L+U){\vec {x}}^{(k)}}

この式は以下のように変形できる。 x → ( k + 1 ) = D − 1 { b → − ( L + U ) x → ( k ) } {\displaystyle {\vec {x}}^{(k+1)}=D^{-1}\{{\vec {b}}-(L+U){\vec {x}}^{(k)}\}}

もし、解が収束した場合、その場合は x 1 ( k + 1 ) {\displaystyle x_{1}^{(k+1)}} と x 1 ( k ) {\displaystyle x_{1}^{(k)}} は共通の値 x 1 ( ∗ ) {\displaystyle x_{1}^{(*)}} を持つことになる。このとき、 x → ( ∗ ) = D − 1 { b → − ( L + U ) x → ( ∗ ) } {\displaystyle {\vec {x}}^{(*)}=D^{-1}\{{\vec {b}}-(L+U){\vec {x}}^{(*)}\}}

となり、変形していくと元の連立方程式の形に戻る。したがって、ヤコビ法で解が収束した場合、その解は連立方程式の解となる。