ヤコビの四平方定理(英: Jacobi's four square theorem)は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は r 4 ( N ) = 8 ∑ 4 ∤ d ∣ N d {\displaystyle r_{4}(N)=8\sum _{4{\nmid }d{\mid }N}d}

で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。 N ≧ 1 {\displaystyle N\geqq 1} ならば r 4 ( N ) ≧ 8 {\displaystyle r_{4}(N)\geqq 8} であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。

ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である[2]。
具体例

例えば、 r 4 ( 12 ) = 8 ( 1 + 2 + 3 + 6 ) = 96 {\displaystyle r_{4}(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96}

であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は 12 = ( ± 2 ) 2 + ( ± 2 ) 2 + ( ± 2 ) 2 + 0 2 = ( ± 2 ) 2 + ( ± 2 ) 2 + 0 2 + ( ± 2 ) 2 = ( ± 2 ) 2 + 0 2 + ( ± 2 ) 2 + ( ± 2 ) 2 = 0 2 + ( ± 2 ) 2 + ( ± 2 ) 2 + ( ± 2 ) 2 = ( ± 3 ) 2 + ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 = ( ± 1 ) 2 + ( ± 3 ) 2 + ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 = ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 + ( ± 3 ) 2 + ( ± 1 ) 2 = ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 + ( ± 3 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}12&=(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+0^{2}\\&=(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+0^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=(\pm 2)^{2}+0^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=0^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}\\\end{aligned}}}

であり、符号と順序を区別すれば96個になる。
関連記事

ラグランジュの四平方定理

Disquisitiones Arithmeticae

脚注[脚注の使い方]^ ハーディ & ライト (2012, pp. 317?321)
^ ハーディ & ライト (2012, p. 321)

参考文献

ガウス, C・F・ 著、高瀬正仁 訳『ガウス整数論』朝倉書店〈数学史叢書〉、1995年6月20日（原著1801年）。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-4-254-11457-7。 

ハーディ, G・H・、ライト, E・M・ 著、示野信一・矢神毅 訳『数論入門』 I、丸善出版〈シュプリンガー数学クラシックス8〉、2012年1月（原著2001年7月）。ISBN 978-4-621-06226-5。