この項目では、数学のモーメントについて説明しています。確率論のモーメントについては「モーメント (確率論)」を、物理量のモーメントについては「モーメント」をご覧ください。
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を翻訳することにより充実させることができます。(2024年5月)翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率(せきりつ)とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。
実変数 x に関する関数 f(x) の n 次モーメント μ n ( 0 ) {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}} は、 μ n ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ x n f ( x ) d x {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx}
で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 f(x) は一意に決定される。 μ = μ 1 ( 0 ) / μ 0 ( 0 ) {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/\mu _{0}^{(0)}} は f を密度関数とする測度の重心を表している。
関数 f(x) の c 周りの n 次モーメント μ n ( c ) {\displaystyle \mu _{n}^{(c)}} は、 μ n ( c ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − c ) n f ( x ) d x {\displaystyle \mu _{n}^{(c)}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}f(x)\,dx}
で表される。
重心周りのモーメント μn = μ(μ)n を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。
確率分布のモーメント詳細は「モーメント (確率論)」を参照
確率密度関数 f(x) のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。 変量統計における、データ x1, …, xN のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では μ n ( 0 ) = 1 N ∑ i = 1 N x i n , μ n ( c ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − c ) n , μ n = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) n {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}} と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。 もう1つの変量統計のモーメントの定義では μ n ( 0 ) = ∑ i = 1 N x i n , μ n ( c ) = ∑ i = 1 N ( x i − c ) n , μ n = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) n {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}} と表される。 この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。
全測度は1: μ 0 ( 0 ) = 1 {\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=1} 。
μ = μ 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}} は x の平均値。
σ 2 = μ 2 = μ 2 ( 0 ) − ( μ 1 ( 0 ) ) 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}=\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}} は分散、 σ = μ 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}}}} は標準偏差。
γ 1 = μ 3 / σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/\sigma ^{3}} は歪度。
γ 2 = μ 4 / σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/\sigma ^{4}-3} は尖度。
変量統計のモーメント
μ 0 ( 0 ) = N {\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=N} 。
μ = μ 1 ( 0 ) / N {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/N} は平均値。
σ 2 = μ 2 / N = { μ 2 ( 0 ) − ( μ 1 ( 0 ) ) 2 } / N {\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}/N=\{\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}\}/N} は分散、 σ = μ 2 / N {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}/N}}} は標準偏差。
γ 1 = μ 3 / N σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/N\sigma ^{3}} は歪度。