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確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。 M X ( t ) := E ( e t X ) , t ∈ R {\displaystyle M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} }

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。 E ( X n ) = M X ( n ) ( 0 ) = d n M X d t n ( 0 ) {\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0)}

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) X = ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})} の場合、 t X {\displaystyle tX} の代わりに t ⋅ X = t T X {\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} } を使い、次のように定義する。 M X ( t ) := E ( e t T X ) {\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=E\left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right)}
目次

1 計算

1.1 2つの独立確率変数の和

1.2 独立確率変数の総和(一般化)


2 他の関数との関係

3 具体例

4 注

計算

積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。 M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x d F ( x ) {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、 M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} は f(x) の両側ラプラス変換である。 M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x} = ∫ − ∞ ∞ ( 1 + t x + t 2 x 2 2 ! + ⋯ ) f ( x ) d x {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x} = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + ⋯ , {\displaystyle =1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,}

ここで、 m i {\displaystyle m_{i}} は i番目のモーメントである。
2つの独立確率変数の和

2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。 M X + Y ( t ) = E ( e t ( X + Y ) ) = E ( e t X e t Y ) = E ( e t X ) E ( e t Y ) = M X ( t ) M Y ( t ) {\displaystyle M_{X+Y}(t)=E(e^{t(X+Y)})=E(e^{tX}e^{tY})=E(e^{tX})E(e^{tY})=M_{X}(t)M_{Y}(t)}