この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "積率母関数" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2017年2月）

確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。 M X ( t ) := E ( e t X ) , t ∈ R {\displaystyle M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} }

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。 E ( X n ) = M X ( n ) ( 0 ) = d n M X d t n ( 0 ) {\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0)}

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) X = ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})} の場合、 t X {\displaystyle tX} の代わりに t ⋅ X ≡ t ⊺ X {\displaystyle {\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}\equiv {\boldsymbol {t}}^{\intercal }{\boldsymbol {X}}} を使い、次のように定義する。 M X ( t ) := E ( e t ⋅ X ) {\displaystyle M_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}}):=E\left(e^{{\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}}\right)}
計算

積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。 M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x d F ( x ) {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、 M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} は f(x) の両側ラプラス変換である。 M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ( 1 + t x + t 2 x 2 2 ! + ⋯ ) f ( x ) d x = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\dotsb \end{aligned}}}

ここで、 m i {\displaystyle m_{i}} は i番目のモーメントである。
2つの独立確率変数の和

2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。 M X + Y ( t ) = E ( e t ( X + Y ) ) = E ( e t X ) E ( e t Y ) = M X ( t ) M Y ( t ) {\displaystyle M_{X+Y}(t)=E\left(e^{t(X+Y)}\right)=E(e^{tX})E(e^{tY})=M_{X}(t)M_{Y}(t)}
独立確率変数の総和(一般化)

X1, X2, ..., Xn が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、 S n = ∑ i = 1 n a i X i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}

としたとき（ai は定数）、Sn の確率密度関数はそれぞれの Xi の確率密度関数の畳み込みとなり、Sn の積率母関数は次のようになる。 M S n ( t ) = M X 1 ( a 1 t ) M X 2 ( a 2 t ) ⋯ M X n ( a n t ) . {\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\dotsb M_{X_{n}}(a_{n}t).}
他の関数との関係

積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。
特性関数
特性関数 φ X ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)} と積率母関数は φ X ( t ) = M i X ( t ) = M X ( i t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it)} という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。