代数学において、モーデル曲線（-きょくせん、英語: Mordell curve）とは、n を非零整数定数として y2 = x3 + n の形式で表される楕円曲線である[1]。

ルイス・モーデルはこれらの曲線の格子点について詳しく研究した[2]。彼はすべてのモーデル曲線が高々有限個の格子点 (x, y) を持つと示した。言い換えれば、平方数と立方数の差は無限大に発散するということである。発散速度はベイカーの定理によって調べられている。この問題はホールの予想（英語版）として取り扱われている。
性質

(x, y) がモーデル曲線上の格子点であるとき、(x, ?y) も同様に格子点となる。

対応するモーデル曲線が格子点を持たないような n が存在する[1]。例えば6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A054504）?3, ?5, ?6, ?9, ?10, ?12, ?14, ?16, ?17, ?21, ?22, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A081121）

n = ?2 の場合についてはフェルマーのサンドイッチ定理（英語: Fermat's Sandwich Theorem）として知られる[3]。
解のリスト

n の絶対値が25以下の場合のモーデル曲線 y2 = x3 + n の解のリストを示す。y ? 0 となる解のみ示してある。

n(x,y)
1(?1, 0), (0, 1), (2, 3)
2(?1, 1)
3(1, 2)
4(0, 2)
5(?1, 2)
6?
7?
8(?2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312)
9(?2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253)
10(?1, 3)
11?
12(?2, 2), (13, 47)
13?
14?
15(1, 4), (109, 1138)
16(0, 4)
17(?1, 4), (?2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661)
18(7, 19)
19(5, 12)
20?
21?
22(3, 7)
23?
24(?2, 4), (1, 5), (10, 32), (8158, 736844)
25(0, 5)

n(x,y)
?1(1, 0)
?2(3, 5)
?3?
?4(5, 11), (2, 2)
?5?
?6?
?7(2, 1), (32, 181)
?8(2, 0)
?9?
?10?
?11(3, 4), (15, 58)
?12?
?13(17, 70)
?14?
?15(4, 7)
?16?
?17?
?18(3, 3)
?19(7, 18)
?20(6, 14)
?21?
?22?
?23(3, 2)
?24?
?25(5, 10)

1998年、J. Gebel, A. Petho, H. G. Zimmer は 0 < |n。? 104 を満たすすべての格子点を見つけている[4][5]。

2015年、M. A. Bennett と A. Ghadermarzi は 0 < |n。? 107 の格子点を計算した[6]。
脚注^ a b .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Weisstein, Eric W. "Mordell Curve". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Louis Mordell (1969). Diophantine Equations 
^ Weisstein, Eric W. "Fermat's Sandwich Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). 2022年3月24日閲覧。
^ Gebel, J.; Petho, A.; Zimmer, H. G. (1998). “On Mordell's equation”. Compositio Mathematica 110 (3): 335?367. doi:10.1023/A:1000281602647. 
^ A081119およびA081120。
^ M. A. Bennett, A. Ghadermarzi (2015). ⇒“Mordell's equation : a classical approach”. LMS Journal of Computation and Mathematics 18: 633-646. arXiv:1311.7077. doi:10.1112/S1461157015000182. ⇒http://www.math.ubc.ca/~bennett/BeGh-LMSJCM-2015.pdf. 

外部リンク

J. Gebel, Data on Mordell's curves for ?10000 ? n ? 10000

M. Bennett, ⇒Data on Mordell curves for ?107 ? n ? 107