代数幾何学では、モチーフ(motive、ときにはフランス語の使いかたに従い motif とすることもある)は、代数多様体の本質的な部分を表す。今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。[要出典] ピュアモチーフは、三つ組 (X, p, m) で、この X は滑らかな射影多様体、p : X ? X はべき等な(idempotent)対応、m は整数である。(X, p, m) から (Y, q, n) への射(morphism)は、次数 n - m の対応により与えられる。

アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)に従い、混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす適切な定義を求めている。圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏でべき等分解（英語版）(splitting idempotents)を通した定義を意図していた。しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、これを定義することができなかった。現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を持つことができない。[要出典] 一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、この期待は完全に証明されてはいない。他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。
導入

元来、モチーフの理論は、ベッチコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、l-進エタールコホモロジー、クリスタリンコホモロジー（英語版）(crystalline cohomology)を含む、急速に増えてきたコホモロジー論を統一しようとの試みである。一般的な期待は、

[点]

[射影直線] = [直線] + [点]

[射影平面] = [平面] + [直線] + [点]

のような方程式が、深い意味をもった確固とした数学的基礎として採用できるという期待である。もちろん、上の方程式は、多くの意味で正しいことがすでに知られている。例えば、CW複体(CW-complex)では、"+" は胞体(cell)の連結に対応していて、様々なコホモロジー論で "+" は直和に対応している。

他の観点からは、モチーフは、多様体の因子上の有理函数から多様体の周群(Chow group)の上の有理函数への一般化へと繋がっている。モチーフは有理同値以外にも多くのタイプの同値の観点から考えることが可能であるので、一般化は様々な方向で発生する。適切な同値関係（英語版）(adequate equivalence relation)の定義により、構成する同値関係が与えられる。
ピュアモチーフの定義

ピュアモチーフの圏は、多くの場合 3段階で進行する。以下に、k を任意の体として、周モチーフ(Chow motives) Chow(k) の例を挙げる。
第一段階： (次数 0) 対応の圏, Corr(k)

Corr(k) の対象(object)は、単純に k 上の滑らかな射影多様体である。射(morphism)は対応である。対応は、多様体の射 X → Y の一般化であり、これには X × Y の中のグラフが伴われていて、X × Y 上の決まった次元の周サイクル（英語版）(Chow cycles)へ一般化される。

Corr(k) の射は、次数が 0 の対応であるにもかかわらず、任意次数の対応を記述することは有益である。詳しく言うと、X と Y を滑らかな多様体、 X = ∐ i X i {\displaystyle \scriptstyle X=\coprod _{i}X_{i}} を X の連結成分への分解、di := dim Xi とする。r ∈ Z であれば、次数 r の　X から Y への対応は、 C o r r r ( k ) ( X , Y ) := ⨁ i A d i + r ( X i × Y ) {\displaystyle {\mathit {Corr}}^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y)}

と定義される。

例えば α: X ? Y のように、対応を "?" の記号で使うことが良くある。任意の α ∈ Corrr(X, Y) と β ∈ Corrs(Y, Z) に対し、それらの合成は、 α ∘ β := π X Z ∗ ( π X Y ∗ ( α ) ⋅ π Y Z ∗ ( β ) ) ∈ C o r r r + s ( X , Z ) {\displaystyle \alpha \circ \beta :=\pi _{XZ*}(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta ))\in Corr^{r+s}(X,Z)}

により定義される。ここにドットは、周環（すなわち、交叉）における積を表す。

圏 Corr(k) を構成することへ立ち返ると、次数 0 の対応の合成は次数 0 であることに注意すると、Corr(k) の射は次数 0 対応であることとなる。

結合関係は、次の函手となる。 F : S m P r o j ( k ) ⟶ C o r r ( k ) X ⟼ X f ⟼ Γ f {\displaystyle F:{\begin{array}{rcl}SmProj(k)&\longrightarrow &Corr(k)\\X&\longmapsto &X\\f&\longmapsto &\Gamma _{f}\end{array}}}

ここに Γf ⊆ X × Y は f : X → Y のグラフである。

まさに SmProj(k) のように、圏 Corr(k) は直和 ( X ⊕ Y := X ∐ Y {\displaystyle \scriptstyle X\oplus Y:=X\coprod Y} ) と テンソル積 ( X ⊗ Y := X × Y {\displaystyle \scriptstyle X\otimes Y:=X\times Y} ) を持っている。この圏は、準加法圏（準加法圏と加法圏の記法については準加法圏の記事を参照）。射の和は、 α + β := ( α , β ) ∈ A ∗ ( X × X ) ⊕ A ∗ ( Y × Y ) ↪ A ∗ ( ( X ∐ Y ) × ( X ∐ Y ) ) {\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}((X\coprod Y)\times (X\coprod Y))}

により定義される。
第二段階：ピュアな有効周モチーフ, Choweff(k)

モチーフへの変換は、Corr(k) の擬アーベル的包絡（英語版）(pseudo-abelian envelope)を取ることで得られる。 C h o w e f f ( k ) := S p l i t ( C o r r ( k ) ) {\displaystyle Chow^{eff}(k):=Split(Corr(k))} .

言い換えると、有効周モチーフは、滑らかな射影多様体 X とべき等(idempotent) な対応 α: X ? X であり、射は対応 O b ( C h o w e f f ( k ) ) := { ( X , α )   。   ( α : X ⊢ X ) ∈ C o r r ( k )  such that  α ∘ α = α } {\displaystyle Ob(Chow^{eff}(k)):=\{(X,\alpha ){\mbox{ }}|{\mbox{ }}(\alpha :X\vdash X)\in Corr(k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}} . M o r ( ( X , α ) , ( Y , β ) ) := { f : X ⊢ Y   。   f ∘ α = f = β ∘ f } {\displaystyle Mor((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y{\mbox{ }}|{\mbox{ }}f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}}

である。

合成は、上記の対応で定義され、(X, α) の恒等射は α : X ? X であることと定義される。

結合関係は、次の函手となる。 h : S m P r o j ( k ) ⟶ C o r r ( k ) X ⟼ [ X ] := ( X , Δ ) X f ⟼ [ f ] := Γ f ⊂ X × Y {\displaystyle h:{\begin{array}{rcl}SmProj(k)&\longrightarrow &Corr(k)\\X&\longmapsto &[X]:=(X,\Delta )_{X}\\f&\longmapsto &[f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{array}}} ,