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出典検索?: "メネラウスの定理" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年5月）

メネラウスの定理（めねらうすのていり、英: Menelaus' theorem）とは、幾何学の定理の1つである。アレクサンドリアのメネラウスにちなんで名付けられた。
定理

任意の直線lと三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}

なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C、CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。
証明の方針

証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。
証明1

ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から 。 B D D C 。 = 。 B F C K 。 , 。 A E E C 。 = 。 A F C K 。 {\displaystyle \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BF}{CK}}\right|,\quad \left|{\frac {AE}{EC}}\right|=\left|{\frac {AF}{CK}}\right|}

が成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。
証明2

ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。
証明3

直線ADと直線BEの交点をGとすると A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A ⋅ △ A E D = A F F B ⋅ B D D C ⋅ △ C E D = A F F B ⋅ △ B D E = △ A E D {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}\cdot \vartriangle AED={AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot \vartriangle CED={AF \over FB}\cdot \vartriangle BDE=\vartriangle AED}

△AED≠0より A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}
逆

メネラウスの定理は逆も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点F、D、Eをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}

が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。
関連項目

チェバの定理

外部リンク

日本大百科全書(ニッポニカ)『メネラウスの定理』 - コトバンク

『メネラウスの定理の覚え方と拡張』 - 高校数学の美しい物語

メネラウスの定理の覚え方 - YouTube

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