ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、英: Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。
目次

1 構造

1.1 ミンコフスキー計量

1.2 ミンコフスキー内積


2 別の定義の方法

3 ローレンツ変換

4 相対論的な時空

4.1 因果構造

4.2 局所平坦時空


5 歴史

6 関連項目

7 参考文献

8 外部リンク

構造

(m,n)-型のミンコフスキー空間 Mm,n は、m-次元と n-次元のユークリッド空間の直和 Mm,n = Em?En として得られる。すなわち、直積集合 Mm,n = Em×En であり、V ∈ Mm,n に対して V(m) ∈ Em, V(n) ∈ En がただ一組存在して順序対としてV=(V(m),V(n))

と表される。ベクトル空間の加法とスカラー乗法は a, b ∈ R に対してaV+bW = (aV(m)+bW(m), aV(n)+bW(n))

である。また、零ベクトル 0 ∈ Mm,n は、それぞれの零ベクトル 0(m)∈Em, 0(n)∈En の順序対0(m)∈Em, 0(n)∈En

である。次元は明らかに dim Mm,n = m+n である。
ミンコフスキー計量

直積空間としての (m,n)-型のミンコフスキー空間 Mm,n = Em×En におけるミンコフスキー計量 η(m,n) は、ユークリッド空間 Em, En におけるユークリッド計量を d(m), d(n) として η ( m , n ) ( V , W ) =   d ( m ) ( V ( m ) , W ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , W ( n ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{(m,n)}(V,W)=&~d_{(m)}(V_{(m)},W_{(m)})\\&-d_{(n)}(V_{(n)},W_{(n)})\end{aligned}}}

で与えられる。また、V のノルムは V 2 = η ( m , n ) ( V , V ) = d ( m ) ( V ( m ) , V ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , V ( n ) ) = ( V ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\eta _{(m,n)}(V,V)\\&=d_{(m)}(V_{(m)},V_{(m)})-d_{(n)}(V_{(n)},V_{(n)})\\&=(V_{(m)})^{2}-(V_{(n)})^{2}\end{aligned}}}