マクスウェル分布確率密度関数

累積分布関数

母数 a = k T m > 0 {\displaystyle a={\sqrt {\frac {kT}{m}}}>0}
台 x ∈ ( 0 ; ∞ ) {\displaystyle x\in (0;\infty )}
確率密度関数 2 π x 2 e − x 2 / ( 2 a 2 ) a 3 {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}}
累積分布関数 erf ⁡ ( x 2 a ) − 2 π x e − x 2 / ( 2 a 2 ) a {\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}} erfは誤差関数
期待値 μ = 2 a 2 π {\displaystyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}
最頻値 2 a {\displaystyle {\sqrt {2}}a}
分散 σ 2 = a 2 ( 3 π − 8 ) π {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}
歪度 γ 1 = 2 2 ( 16 − 5 π ) ( 3 π − 8 ) 3 / 2 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}}
尖度 γ 2 = 4 ( − 96 + 40 π − 3 π 2 ) ( 3 π − 8 ) 2 {\displaystyle \gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}}
エントロピー ln ⁡ ( a 2 π ) + γ − 1 2 {\displaystyle \ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}}
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マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、英: Maxwell distribution[1]）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（英: Maxwell?Boltzmann distribution[1]）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。
導出

気体分子運動論では、成分を vx, vy, vz とする速度ベクトル v について、x 方向の速度成分 vx の分布は、分子の質量を m、ボルツマン定数を k、絶対温度を T、係数を A として A exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) {\displaystyle A\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)}

に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 A を求めるには vx に関して積分した値が1になれば良いので[2][3] A ∫ − ∞ + ∞ exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) d v = 2 A ∫ 0 + ∞ exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) d v = 1 {\displaystyle A\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=2A\int _{0}^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=1}