「マクスウェルの関係式」とは異なります。
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マクスウェルの方程式（マクスウェルのほうていしき、英: Maxwell's equations、マクスウェル方程式とも）は、電磁場を記述する古典電磁気学の基礎方程式である。マイケル・ファラデーが幾何学的考察から見出した電磁力に関する法則が1864年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって数学的形式として整理された[1]。マクスウェルの方程式はマックスウェルの方程式とも表記される。マクスウェル-ヘルツの電磁方程式、電磁方程式などとも呼ばれる。

これらの方程式系に整理されたことから、電場と磁場の統一（電磁場）、光が電磁波であることなどが導かれ、その時空論としての特殊相対性理論に至る。後年、アインシュタインは特殊相対性理論の起源はマクスウェルの電磁場方程式である旨を明言している。

マクスウェルが導出した方程式はベクトルの各成分をあたかも互いに独立な量であるかのように別々の文字で表して書かれており、現代の洗練された形式ではなかった。これを1884年にヘヴィサイドがベクトル解析の記法を適用して現在の見やすい形に書き改めた。しかも彼は既にそこで電磁ポテンシャルが消去出来ることを示して、方程式系を今日我々が知る形に整理していた。しかし、その意義は直ちには認められるに至らなかった。

ベクトル記法が一般化し始めるのは 1890年代半ばであって、ヘルツの論文ではまだそれを使っていない。いずれにせよ、このベクトル解析の記法の採用は場における様々な対称性を一目で見ることを可能にし、物理現象の理解に大いに役立った[2]。

真空中の電磁気学に限れば、マクスウェルの方程式の一般解は、ジェフィメンコ方程式として与えられる。

なお電磁気学の単位系は国際単位系に発展したMKSA単位系のほかガウス単位系などがあり、単位系によってマクスウェルの方程式の表式における係数が異なるが、以下では原則として国際単位系を用いることとする。
4つの方程式マクスウェルの方程式の図示

（微分形による）マクスウェルの方程式は、以下の4つの連立偏微分方程式である。記号「 ∇ {\displaystyle \nabla } 」はナブラ演算子、記号「 ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } 」、「 ∇ × {\displaystyle \nabla \times } 」はそれぞれベクトル場の発散 (div) と回転 (rot) である。 { ∇ ⋅ B ( t , r ) = 0 ∇ × E ( t , r ) = − ∂ B ( t , r ) ∂ t ∇ ⋅ D ( t , r ) = ρ ( t , x ) ∇ × H ( t , r ) = j ( t , r ) + ∂ D ( t , r ) ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})&=-{\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}{\partial t}}\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {r}})&=\rho (t,{\boldsymbol {x}})\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}(t,{\boldsymbol {r}})&={\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {r}})+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {r}})}{\partial t}}\end{aligned}}\end{cases}}}

また、一般の媒質の構成方程式は(E-B対応では)以下である。 D = ε 0 E + P H = μ 0 − 1 B − M {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\\{\boldsymbol {H}}&=\mu _{0}^{-1}{\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {M}}\end{aligned}}}

ここで t {\displaystyle t} は時刻, r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} は位置ベクトル, E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} は電場の強度、 D {\displaystyle {\boldsymbol {D}}} は電束密度、 B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} は磁束密度、 H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} は磁場の強度、 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} は分極、 M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} は磁化を表す。また、 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} は真空の誘電率、 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は真空の透磁率、 ρ {\displaystyle \rho } は電荷密度、 j {\displaystyle {\boldsymbol {j}}} は電流密度を表す。真空中では P = M = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {0}}} となる。

次に、4つの個々の方程式（成分表示で8つの式、テンソル表示で2つの式）について説明する。
磁束保存の式 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0} （微分形の磁束保存の式）

積分形で表すと次の式になる。 ∮ S B ⋅ d S = 0 {\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=0}

ここでdS は、閉曲面 S 上の面素ベクトルである。構造的に見て磁力線が閉曲線でなければならないことを意味する。この式は電場の積分形と同様に、閉曲面上を積分したときにのみ意味がある。

これらの式は、磁気単極子（モノポール）が存在しないことを前提としており、もし磁気単極子が発見されたならば、上の式は次のように変更されなければならない。 ∇ ⋅ B = ρ m {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=\rho _{\mathrm {m} }}

ここで ρm は磁気単極子の磁荷密度である。「ガウスの法則 (磁場)」も参照
ファラデー-マクスウェルの式 ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}} （微分形のファラデー-マクスウェルの式）

この式を積分形で表すと次の式になる。 ∮ C E ⋅ d l = − d ϕ d t {\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=-{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}}

ただし、 ϕ = ∫ S B ⋅ d S {\displaystyle \phi =\int _{S}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}

ここで、（向きのついた）閉曲線を C 、C を縁とする曲面を S とし、 ϕ {\displaystyle \phi } は曲面 S を通過する磁束、V は経路 C に沿った(誘導)起電力である。ファラデー-マクスウェルの式の積分形で時間微分を積分の外に置く場合には、経路 C と曲面 S は時間変化しないものとする。よって、導体が動く場合についてはこの式の対象ではない[注 1]。式中の負号については、しばしば磁場の増減に対する起電力は磁場源となる電流が減増する向きといった説明がなされる。
マクスウェル-ガウスの式 ∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho } （微分形のマクスウェル-ガウスの式）

上の式は、電束が電荷の存在するところで増減（発生・消滅）し、それ以外のところでは保存されることを示す。

積分形で表すと次の式になる。 ∮ S D ⋅ d S = Q e n c l {\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=Q_{\rm {encl}}}

ここで dS は、閉曲面 S 上の面素ベクトルであり、Qencl は閉曲面 S で囲まれた領域内の電荷である。この積分形は、閉曲面上を積分したときにのみ意味があり、ガウスの法則としてよく知られている。
アンペール-マクスウェルの式 ∇ × H = j + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}} （微分形のアンペール-マクスウェルの式）

積分形は次のようになる。 ∮ C H ⋅ d l = ∫ S j + ∂ D ∂ t ⋅ d S {\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\int _{S}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}

C は曲面 S の縁となる閉曲線である。

右辺の第2項は変位電流項と呼ばれる。工学上は、変位電流は媒質が普通の金属ならばまず無視できる。電場の変動の角周波数 ω が電気伝導度 σ と誘電率 ε の比より十分小さければよい。普通の金属の電気伝導度は σ ? 107 S/m 程度で、誘電率は真空とさほど変わらない ε ? 10?11 F/mから ω ≪ σ ε   ∼   10 18   s − 1 {\displaystyle \omega \ll {\frac {\sigma }{\varepsilon }}\ \sim \ 10^{18}\ {\text{s}}^{-1}}

となり、ω がTHz単位でも条件を満たしている。

変位電流が無視できるような電流を準定常電流という。
それぞれの式の解釈
磁束保存の式
磁力線はどこかを起点とすることも終点とすることもできない、すなわち磁気単極子（モノポール）が存在しないことを示している。磁場のガウスの法則。
ファラデー-マクスウェルの式
磁場の時間変化があるところには巻いた電場があることを示している。導線の動きがない場合のファラデーの電磁誘導の法則に相当する。
ガウス-マクスウェルの式
電場の源は電荷であり、電荷の無いところでの電束保存を示している。電場のガウスの法則。
アンペール-マクスウェルの式
電流または変位電流の周りには磁場が巻いていることを示す。