この項目では、図形について説明しています。ヤニス・クセナキスによる楽曲については「ポリトープ (クセナキス)
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出典検索?: "ポリトープ" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2017年8月）
初等幾何学における超多面体（ちょうためんたい、英: polytope; ポリトープ）は、平坦な縁を持つ幾何学的対象である。任意の有限次元において存在し、各次元 n における超多面体を n-次元（超）多面体 (n-polytope) と呼ぶ。例えば二次元多面体は多角形、三次元多面体は通常の多面体である。多辺形や多面体のときと同様、「中身の詰まった」(solid) な n-次元多面体だけでなく、一般にはその境界である (n − 1)-次元図形を指して n-次元多面体と呼ぶことが多々あるので、文脈に注意すべきである。
超多面体の更なる一般化として、非有界な超無限面体（英語版）や、曲がった多様体の三角形分割（英語版）や単体分割あるいは空間充填（例えば、球面多面体（英語版）、および集合論的な抽象多面体（英語版）などが現れる理論もある。
三次元より高次の超多面体を最初に考え出したのはルートヴィッヒ・シュレーフリ（英語版）である。ドイツの数学者ラインホルト・ホッペ（英語版）によりドイツ語: polytopが造語され、それを polytopeとして英語に導入したのはアメリカ人数学者のアリシア・ブール・スコット（英語版）である。
次元ごとの名称次元英語日本語
任意polytope超多面体
（多胞体）
nn-polytopen-次元（超）多面体
（n-次元多胞体）
0point点
1segment線分
2polygon多角形
3polyhedron多面体
4polychoron多胞体
5polyteronポリテロン
6polypetonポリペトン
7polyexonポリエクソン
8polyzettonポリゼトン
9polyyottonポリヨトン
5次元以上の英語名は、ジョージ・オルシェフスキー（オランダ語版） (George Olshevsky) による提案名であり、必ずしも広く受け入れられているわけではない。それぞれ 10 3 ( n − 1 ) {\displaystyle 10^{3(n-1)}} を表すSI接頭語が元になっている。[注釈 1]つまり、名称は（中身の詰まっていない）境界面としての超多面体の次元と対応する。[注釈 2]
語義は "poly-"（多くの）+ "-tope"（表面）であり「直訳」すれば「多面体」である。"polytope" には多胞体（たほうたい）との訳語もある。これは頂点、辺、面に引き続く次元数 3 の部分を「胞」または「胞体」(cell) と呼ぶことから、多面体のより高次の対象との意図で用いられるものだが、しかし多数の胞からなる対象としての四次元の超多面体 (4-polytope) に限って多胞体と呼ぶ語法も自然である。なお、四次元超多面体には "polychoron" (希: χ?ρο? は「部屋」) との名称もある。
以下、誤解の虞があると思われる場合には多胞体の語はなるべく避けるものとする。 こんにちでは「超多面体」(polytope) は様々な幾何学的対象を広汎にカバーする語として用いられており、文献によって異なる定義が採用されている。そうした種々の定義の多くは互いに同値でなく、それによって「超多面体」と呼ばれるべき対象の範囲もそれぞれ異なったものとなることに注意すべきである。このようなことは、凸超多面体
定義に関する注意
もともとの考え方はルートヴィヒ・シュレーフリ（英語版）、ソロルド・ゴセット（英語版）らにより広く探られた、二次元および三次元のそれぞれ多角形および多面体の概念の、四次元あるいはそれ以上における対応物への拡張である[1]。
多面体のオイラー標数をより高次の超多面体に対して一般化する試みは、位相幾何学の発展および多面体分割の取り扱い、あるいは超多面体の類似としてのCW複体を導いた[2]。この流儀では、「超多面体」とは適当に与えられた多様体の分割あるいは充填と見なすことができる。この方法で定義される超多面体の例には、単体分割（英語版）可能な点集合が挙げられる。この場合、超多面体は有限個の単体の合併であって、追加の性質として「その任意の二つの単体が空でない交わりを持つとき、それら交わりは必ずもとの二つの単体両方の頂点、辺、あるいはより高次の面に一致していなければならない」という条件を満足する[3]。しかしこの定義では内部構造を持つ星型超多面体（英語版）は許されず、したがってこのような流儀の通じる分野はややもすれば限定的である。
星型多面体の発見とその他の少し変わった構成を許す立場からば、多面体を内部を無視して境界となる曲面として扱う視点が与えられる[4]:205ff.。それを踏襲して、p-次元空間における凸超多面体は、(p − 1)-次元球面による球面充填（英語版）と同じものと見なされる。あるいはほかの種類の充填として、楕円型（英語版）、平坦、円環体型の (p ? 1)-次元曲面によるものもそれぞれ考えられる（楕円型充填（英語版）や穿孔多面体（多孔トーラス型多面体）などの項を参照）、多面体をその面が多角形となる曲面と見なせるのと同様に、多胞体をその胞（ファセット、三次元面）が多面体となる三次元超曲面として理解することができる。より高次の超多面体も同様である。
低次の超多面体を使ってより高次の超多面体を構成するという考え方は、次元を下げるほうにも拡張することがあり、例えば辺は点の対で囲まれた「一次元超多面体」であり、頂点は「零次元超多面体」である。このやり方は例えば抽象超多面体（英語版）の理論において利用できる。
数学の特定の分野では「ポリトープ」("polytope") や「ポリヘドロン」("polyhedron") がやや異なる意味で用いられる。すなわち、（本項に言う超多面体の意味で）任意次元の一般の対象を「ポリヘドロン」と呼び、「ポリトープ」は有界な「ポリヘドロン」の意味で用いられる[5]。この用語法は、典型的には「ポリヘドロン」および「ポリトープ」が凸体（英語版）である場合に限って用いられる。この語法に則れば、凸「ポリヘドロン」は有限個の半空間の交わりに等しく、その辺によって定義される。対して、凸「ポリトープ」は有限個の点の凸包に等しく、それら頂点によって定義される。
各次元の面詳細は「多胞体の面」を参照
超多面体は、頂点・辺・面・胞などの相異なる各次元の要素から構成される。これら要素の名称に全ての著者が従う完全な統一名称というものは確立されていない。例えば「面」を余次元 1（つまり (n ? 1)-次元）の要素の意味で用いる（その意味で任意の超多面体は「多『面』体」である）文献[要出典]もあれば、二次元の要素を特に表すのに用いる文献[要出典]もある。j-次元の要素はしばしば j-次元面 (j-face, j-facet) と呼ばれる[要出典]。(n − 2)-次元の要素を「稜」(ridge) と呼ぶ文献[要出典]もあれば、「辺」と呼ぶ文献[要出典]もある。また、コクセターは cell（「胞」）を (n ? 1)-次元要素の意味で用いた[6]（のでその意味では任意の超多面体は「多『胞』体」である）。
本項における語法は大体以下の表に従っている:
特別な名称をもつ中間次元面次元英語日本語余次元英語日本語
−1(null)(空)(?)0(body)(体)
0vertex頂点?1facetファセット
刻面[要出典]
1edge辺?2ridge稜（英語版）[要出典]
2face面?3peak峰（英語版）[要出典]
3cell胞?4
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
j − 1?j(n − j)-face
jj-face(j-次元面)?j + 1
