この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "ポアソン分布" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年10月）

ポアソン分布確率質量関数

横軸は確率変数値 k 。確率質量関数は k が 0 以上の整数でだけ定義される。
累積分布関数

横軸は確率変数値 k 。確率質量関数は k が 0 以上の整数でだけ定義されるので、整数値以外では分布関数は平らになる。
母数 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0}
台 { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \{0,1,2,3,\dotsc \}}
確率質量関数 λ k k ! ⋅ e − λ {\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }}
累積分布関数 k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} について、
Γ ( ⌊ k + 1 ⌋ , λ ) ⌊ k ⌋ ! {\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}}
または、 e − λ ∑ i = 0 k λ i i ! {\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}}
ここで、 Γ ( x , y ) {\displaystyle \Gamma (x,y)} は不完全ガンマ関数で、
⌊ k ⌋ {\displaystyle \lfloor k\rfloor } は床関数である。
期待値 λ {\displaystyle \lambda }
中央値 ≈ ⌊ λ + 1 3 − 0.02 λ ⌋ {\displaystyle \approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {0.02}{\lambda }}\right\rfloor }
最頻値 ⌊ λ ⌋ {\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }
分散 λ {\displaystyle \lambda }
歪度 λ − 1 / 2 {\displaystyle \lambda ^{-1/2}}
尖度 λ − 1 {\displaystyle \lambda ^{-1}}
エントロピー

λ [ 1 − log ⁡ ( λ ) ] + e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k log ⁡ ( k ! ) k ! {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda {\bigl [}1-\log(\lambda ){\bigr ]}\\&{}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}\end{aligned}}}
（大きい λ {\displaystyle \lambda } について）
1 2 log ⁡ ( 2 π e λ ) − 1 12 λ − 1 24 λ 2 − 19 360 λ 3 + O ( 1 λ 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}\\&{}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}}
モーメント母関数 exp ⁡ ( λ ( e t − 1 ) ) {\displaystyle \exp {\bigl (}\lambda (e^{t}-1){\bigr )}}
特性関数 exp ⁡ ( λ ( e i t − 1 ) ) {\displaystyle \exp {\bigl (}\lambda (e^{it}-1){\bigr )}}
テンプレートを表示

統計学および確率論で用いられるポアソン分布（英: Poisson distribution）とは、ある事象が一定の時間内に発生する回数を表す離散確率分布である。

数学者シメオン・ドニ・ポアソンが1838年に確率論とともに発表した。

ある離散的な事象について、ポアソン分布は所与の時間内での生起回数の確率を示し、指数分布は生起間隔の確率を示す[1]。
定義

定数 λ > 0 に対し、0 以上の整数を値にとる確率変数 X が P ( X = k ) = λ k e − λ k ! {\displaystyle P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}

を満たすとき、確率変数 X は母数 λ のポアソン分布に従うという。

ここで、e はネイピア数 (e = 2.71828…)であり、k! は k の階乗を表す。また、λ は所与の区間内で発生する事象の期待発生回数に等しい。

P(X = k) は、「所与の時間中に平均で λ 回発生する事象がちょうど k 回（k は非負の整数）発生する確率」に相当する。例えば、事象が平均で10分間に5回発生する場合、10分間の中で事象が発生する回数は、λ = 5 のポアソン分布モデルを使って求められる。
性質
平均・分散

ポアソン分布の平均 E[X] および分散 V[X] は、λ に等しい[2]。 E ⁡ [ X ] = λ , V ⁡ [ X ] = λ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\lambda ,\\\operatorname {V} [X]&=\lambda .\end{aligned}}}