「ポアソン分布」あるいは「二項分布」とは異なります。

ポアソン二項分布確率質量関数

累積分布関数

母数 p ∈ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle \mathbf {p} \in [0,1]^{n}} − n 回試行のそれぞれに対する成功確率
台 { 0 , ⋯ , n } {\displaystyle \{0,\cdots ,n\}}
確率質量関数 ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) {\displaystyle \sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}
累積分布関数 ∑ l = 0 k ∑ A ∈ F l ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) {\displaystyle \sum _{l=0}^{k}\sum _{A\in F_{l}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}{(1-p_{j})}}
期待値 ∑ i = 1 n p i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}
分散 σ 2 = ∑ i = 1 n ( 1 − p i ) p i {\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}(1-p_{i}){p_{i}}}
歪度 1 σ 3 ∑ i = 1 n ( 1 − 2 p i ) ( 1 − p i ) p i {\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i=1}^{n}\left(1-2p_{i}\right)\left(1-p_{i}\right)p_{i}}
尖度 1 σ 4 ∑ i = 1 n ( 1 − 6 ( 1 − p i ) p i ) ( 1 − p i ) p i {\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}\left(1-6(1-p_{i}){p_{i}}\right)\left(1-p_{i}\right)p_{i}}
モーメント母関数 ∏ i = 1 n ( 1 − p i + p i e t ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1-p_{i}+p_{i}e^{t})}
特性関数 ∏ i = 1 n ( 1 − p i + p i e i t ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1-p_{i}+p_{i}e^{it})}
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ポアソン二項分布（ポアソンにこうぶんぷ、英: Poisson binomial distribution）とは、統計学および確率論における独立なベルヌーイ試行の和として定義される離散確率分布である。

別の言い方をすれば、これは成功確率がそれぞれ p1, p2, …, pn でありそれぞれ独立な n 回の試行を行ったときの成功回数の離散確率分布である。

特に、成功確率が全て等しい (p1 = p2 = … = pn) ときは、ポアソン二項分布は普通の二項分布になる。すなわち二項分布はポアソン二項分布の特別な場合である。
確率質量関数

n 個の確率変数 Xi (i ∈ {1, 2, …, n}) は、それぞれ独立で成功確率がそれぞれ p1, p2, …, pn であるベルヌーイ試行とする。すなわち、 X i ∈ { 1 , 0 } , P ( X i = 1 ) = p i , Pr ( X i = 0 ) = 1 − p i {\displaystyle X_{i}\in \{1,0\},\qquad P(X_{i}=1)=p_{i},\qquad \Pr(X_{i}=0)=1-p_{i}}

とする。確率変数 X = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} は、このような n 回の試行のうちで成功した回数を表す確率変数である。k 回成功する確率は次のような和で表現される[1]。 Pr ( X = k ) = ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) {\displaystyle \Pr(X=k)=\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}

ただし、Fk は {1, 2, …, n} から選べる全ての k要素部分集合の族である。例えば n = 3 なら、F2 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} である。また Ac は A の補集合。すなわち A c = { 1 , 2 , 3 , … , n } ∖ A {\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\backslash A} である。

これが、定義から直接導かれるポアソン二項分布の確率質量関数である。Fk は n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} 要素を含み、この数は n とともに急速に増大するため、試行回数 n が小さい場合以外は実際にこの和を計算することは困難である。（例えば n = 30 のとき F15 は 1020 もの要素を含む）。幸いにも、 Pr ( X = k ) {\displaystyle \Pr(X=k)} を計算する非常に効果的な方法がある。1回も成功しない確率が分かれば、n 回成功の確率は次のようにして再帰的に計算できる[2]。 Pr ( X = k ) = { ∏ i = 1 n ( 1 − p i ) , k = 0 1 k ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 Pr ( X = k − i ) T ( i ) , k > 0 {\displaystyle \Pr(X=k)=\left\{{\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}(1-p_{i}),\qquad k=0\\&{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(X=k-i)T(i),\qquad k>0\\\end{aligned}}\right.}

ただし、 T ( i ) = ∑ j = 1 n ( p j 1 − p j ) i {\displaystyle T(i)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}} 。

他にも離散フーリエ変換を使う次のような計算も可能である[3]。