ボード線図（ボードせんず、英: Bode plot）は、線形時不変系における伝達関数の周波数特性を表した図であり、通常はゲイン線図と位相線図の組合せで使われる。1930年代にヘンドリック・W・ボードによって考案された。ボード図またはボーデ線図とも。目次

1 概要

2 ボード線図の作図法

2.1 骨格ゲイン線図

2.2 補正ゲイン線図

2.3 骨格位相線図


3 例

3.1 ゲイン線図

3.2 位相線図

3.3 正規化


4 極と零点のある例

5 ゲイン余裕と位相余裕

5.1 ボード線図の利用例


6 ボードプロッタ

7 脚注・出典

8 関連項目

9 外部リンク

概要

ゲイン線図 (Magnitude plot) とは、対数周波数軸（ディケード）で周波数毎のゲインの対数値をグラフにプロットした図である。

ゲインは通常デシベルで表される。これはゲインの常用対数をとったもの20倍した値である。ゲインをデシベルで表記することで、ゲインの積がボード線図上での縦方向の距離（デシベル）の和で表されるという利点がある。この性質により、基本的な要素のボード線図を足し合わせることによって合成し、高次系のボード線図を容易に描くことができる。

位相線図 (Phase plot) とは、周波数と位相の関係を表したグラフで、ゲイン線図と同様に周波数は対数軸で表す。ゲイン線図と併用することで、周波数についての位相変移の量を評価するのに使われる。例えば Asin(ωt) で表される信号を与えたとき、システムがそれを減衰させると同時に位相を変移させる可能性がある。減衰が係数 x でなされ、位相変移が -Φ だけなされる場合、出力される信号は (A/x) sin(ωt ? Φ) となる。位相変移 Φ は一般に周波数の関数である。

数学的には明らかに、位相は複素利得の複素対数の虚数部と見ることができるので、ゲインの場合と同様に位相を直接加算することもできる。

図1(a)は以下の一極のハイパスフィルタのボード線図である。

T H i g h ( f ) = j f / f 1 1 + j f / f 1   {\displaystyle \mathrm {T_{High}} (f)={\frac {jf/f_{1}}{1+jf/f_{1}}}\ }

ここで f は周波数（Hz）であり、f1 は極の位置（Hz）である。図では f1 = 100 Hz とされている。複素数の法則を使うと、この関数の振幅は次のようになる。

∣ T H i g h ( f ) ∣= f / f 1 1 + ( f / f 1 ) 2   {\displaystyle \mid \mathrm {T_{High}} (f)\mid ={\frac {f/f_{1}}{\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}}\ }

一方位相は次のようになる。

φ T H i g h = 90 ∘ − tan − 1 ⁡ ( f / f 1 )   {\displaystyle \varphi _{T_{High}}=90^{\circ }-\tan ^{-1}(f/f_{1})\ }

タンジェントの逆関数は、ここではラジアンではなく「度」を返すものとする。ゲイン線図において、デシベルを使うと、図に描かれる振幅の値は次の式から得られる。

20 log 10 ∣ T H i g h ( f ) ∣   = 20 log 10 ⁡ ( f / f 1 ) {\displaystyle 20\log _{10}\mid \mathrm {T_{High}} (f)\mid \ =20\log _{10}\left(f/f_{1}\right)}

  − 20 log 10 ⁡ ( 1 + ( f / f 1 ) 2 )   {\displaystyle \ -20\log _{10}\left({\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}\right)\ }

図1(b)は以下の一極のローパスフィルタのボード線図である。

T L o w ( f ) = 1 1 + j f / f 1   {\displaystyle \mathrm {T_{Low}} (f)={\frac {1}{1+jf/f_{1}}}\ }