ボーア・モレルップの定理 (Bohr?Mollerup Theorem) は、ガンマ関数を特徴づける定理である。デンマーク人数学者のハラルト・ボーアとヨハネス・モレルップ（英語版）により証明された。この定理によると、正の実軸上で対数凸であり、 G ( x + 1 ) = x G ( x ) {\displaystyle G(x+1)=xG(x)} かつ G ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(1)=1} を満たす複素解析関数は唯一ガンマ関数のみである[1]。
証明1

初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から

Γ ( x ) = e − γ x x ∏ n = 1 ∞ n n + x e x / n log ⁡ Γ ( x ) = − γ x − log ⁡ x + ∑ n = 1 ∞ ( log ⁡ n − log ⁡ ( n + x ) + x n ) d d x log ⁡ Γ ( x ) = − γ − 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 n + x + 1 n ) d 2 d x 2 log ⁡ Γ ( x ) = 1 x 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + x ) 2 > 0 ( x > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (x)={\frac {e^{-{\gamma }x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+x}}e^{x/n}\\&\log \Gamma (x)=-{\gamma }x-\log {x}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log {n}-\log {(n+x)}+{\frac {x}{n}}\right)\\&{\frac {d}{dx}}\log \Gamma (x)=-{\gamma }-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{n+x}}+{\frac {1}{n}}\right)\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (x)={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}>0\qquad (x>0)\\\end{aligned}}}

であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} であることを証明する。

f ( x ) = log ⁡ Γ ( x ) − log ⁡ G ( x ) {\displaystyle f(x)=\log {\Gamma (x)}-\log {G(x)}}

と定義する。 G ( x + 1 ) = x G ( x ) {\displaystyle G(x+1)=xG(x)} であるから

f ( x + 1 ) = log ⁡ Γ ( x + 1 ) − log ⁡ G ( x + 1 ) = log ⁡ x + log ⁡ Γ ( x ) − log ⁡ x − log ⁡ G ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+1)&=\log {\Gamma (x+1)}-\log {G(x+1)}\\&=\log {x}+\log {\Gamma (x)}-\log {x}-\log {G(x)}\\&=f(x)\\\end{aligned}}}