数理論理学において、ボレル階層（ボレルかいそう、英語: Borel hierarchy）はポーランド空間の開集合によって生成されるボレル代数の階層化である; この代数の要素はボレル集合と呼ばれる。各ボレル集合にはランクと呼ばれる一意的な可算順序数が割り当てられる。ボレル階層は記述集合論において特に注目されている。

ボレル階層の一般的な使用法の1つは、ランクに関する超限帰納法を使用してボレル集合に関する事実を証明することである。小さい有限なランクの集合の性質は測度論や解析学で重要である。
ボレル集合詳細は「ボレル集合」を参照

任意の位相空間においてのボレル代数とは、全ての開集合を含んでいて可算和と補集合を取る操作について閉じている最小の集合族である。ボレル代数は可算交叉についても閉じている。

ボレル代数が正しく定義されていることの短い証明は、空間の冪集合全体が補集合と可算和のもとで閉じていること、したがって、ボレル代数は全ての開集合を含んでいてかつこれらで閉じた性質を持つような集合族全ての共通部分であることを示すことによって進行する。この証明は、集合がボレルであるかどうかを決定する簡単な手続きを与えるものではない。ボレル階層を考える動機は、ボレル集合のより明確な特徴づけを与えることである。
太字のボレル階層

空間Xにおけるボレル階層または太字のボレル階層は0以上の可算順序数 α {\displaystyle \alpha } についてのクラス Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} , Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} , Δ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} からなる。

これらのクラスはそれぞれXの部分集合からなり、以下のルールで帰納的に定義される：

集合が Σ 1 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}} に属することはそれが開集合であることと同値である。

集合が Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} に属することは、その補集合が Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} に属することと同値である。

集合 A {\displaystyle A} が Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} （ α > 1 {\displaystyle \alpha >1} ）に属することは、ある集合列 A 1 , A 2 , … {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots } について各 A i {\displaystyle A_{i}} が Π α i 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha _{i}}^{0}} （ α i < α {\displaystyle \alpha _{i}<\alpha } ）に属していて A = ⋃ A i {\displaystyle A=\bigcup A_{i}} となることと同値である。

集合が Δ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} に属することは、 Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} と Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} の両方に属することと同値である。

この階層を考える動機は、ボレル集合が補集合と可算和を用いて開集合から構成される方法に倣うためである。ボレル集合が有限ランクを持つとは、それがある有限順序数 α {\displaystyle \alpha } に対する Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} に属することである; そうでなければ無限ランクを持つという。

一般の位相空間で成り立つわけではないが、もし Σ 1 0 ⊆ Σ 2 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}\subseteq \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}} であれば、そのボレル階層では次の性質が成立することが示せる:

全ての α について、 Σ α 0 ∪ Π α 0 ⊆ Δ α + 1 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\cup \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}\subseteq \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}} である。したがって、一度 Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} か Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} に属した集合は、その α より大きい順序数に対応する全ての階層にも属する。

⋃ α < ω 1 Σ α 0 = ⋃ α < ω 1 Π α 0 = ⋃ α < ω 1 Δ α 0 {\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} . そして、この和に集合が属することは、それがボレルであることと同値である。

X {\displaystyle X} が不可算なポーランド空間である場合、全ての α < ω 1 {\displaystyle \alpha <\omega _{1}} において Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} は Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} に部分集合として含まれてはいないことが示せる。