ユークリッド幾何学において、ボッテマの定理(ぼってまのていり、Bottema's theorem)とはオランダの数学者オーネ・ボッテマ（オランダ語版、ドイツ語版）（フローニンゲン, 1901?1992）にちなんで名づけられた定理である[1]。

三角形 A B C {\textstyle ABC} についてそれぞれ A C {\textstyle AC} , B C {\textstyle BC} を一辺とする正方形を外側に描く。このときそれぞれの正方形の、 C {\textstyle C} と反対の点を結んだ線分の中点 M {\textstyle M} は C {\textstyle C} の位置に依らない[2]。

また M {\textstyle M} は、辺 A B {\textstyle AB} の中点を S {\textstyle S} とし A S = B S = M S {\textstyle AS=BS=MS} を満たす三角形の内側の点、つまり ∠ M A B = ∠ M B A = − π 4 {\textstyle \angle MAB=\angle MBA=-{\frac {\pi }{4}}} を満たす点となる。

ボッテマの定理は内側に正方形を描いたときも同様に成り立つことが知られており、このとき M {\textstyle M} は A S = B S = M S {\textstyle AS=BS=MS} を満たす三角形の外側の点、つまり ∠ M A B = ∠ M B A = π 4 {\textstyle \angle MAB=\angle MBA={\frac {\pi }{4}}} を満たす点となる。

更に、ボッテマの定理は任意の正多角形に一般化できる [3]。

三角形 A B C {\textstyle ABC} に、それぞれ辺 A C {\textstyle AC} , B C {\textstyle BC} を一辺とする正多角形を外側あるいは内側に描く。また正多角形の外接円上の頂点 C {\textstyle C} の対蹠点をそれぞれ D 1 {\displaystyle D_{1}} , D 2 {\displaystyle D_{2}} とする。この時、 D 1 D 2 {\displaystyle D_{1}D_{2}} の中点は C {\textstyle C} の位置に依らない。
関連

ヴァン・オーベルの定理

ナポレオンの定理

キーペルト双曲線

参考文献^ Koetsier, T. (2007). “Oene Bottema (1901?1992)”. In Ceccarelli, M.. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science.. History of Mechanism and Machine Science. 1. Dordrecht: Springer. pp. 61?68. doi:10.1007/978-1-4020-6366-4_3. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-1-4020-6365-7 
^ Shriki, A. (2011), “Back to Treasure Island” (英語), The Mathematics Teacher 104 (9): 658?664, JSTOR 20876991, https://jstor.org/stable/20876991 .
^ Meskhishvili, M. (2022), “Two Regular Polygons with a Shared Vertex”, Communications in Mathematics and Applications 13 (2): 435?447, https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1944/1406 

外部リンク

Bottema's Theorem: What Is It?

Wolfram Demonstrations Project ? Bottema's Theorem

GeoGebra Demonstrations Project - A Generalized Theorem - Equilateral Triangles

GeoGebra Demonstrations Project - A Generalized Theorem - Regular Pentagons