数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。ホモロジーの名は「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (?μ??) に由来する。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。

位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。
ホモロジー群の構成

ホモロジー群は以下のような手続きを経て作られる。

数学的対象、たとえば位相空間 X が与えられたとき、まず X の情報を抽出したチェイン複体 C(X) を構成する。チェイン複体はアーベル群や加群 C0, C1, C2, ... を境界作用素とよばれる群準同型 ∂n: Cn → Cn-1 でつないだもの ⋯ ⟶ ∂ n + 1 C n ⟶ ∂ n C n − 1 ⟶ ∂ n − 1 ⋯ ⟶ ∂ 2 C 1 ⟶ ∂ 1 C 0 ⟶ 0 , {\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}\longrightarrow 0,}

である。ただし、0 は自明な群を表し、i < 0 に対しては Ci ≡ 0 と定義する。

さらに、境界作用素 2 つの合成はいつでも 0 であるという要求も付け加える。つまり、すべての n に対して、 ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}

であるとする。右辺の 0 は群 Cn-1 の単位元への定数写像を意味する。このことは im(∂n+1) ⊆ ker(∂n) を意味する。

いま、各 Cn はアーベル群なので、im(∂n+1) は ker(∂n) の正規部分群である。さらに、この部分群を無視して考えたい。つまり、その差が im(∂n+1) に属するような 2 つの元は同値とみなし、ker(∂n) をその同値関係で分割するのである。X の n 次ホモロジー群 を剰余群（あるいは剰余加群）Hn(X) = ker(∂n) / im(∂n+1)

によって定義する。また、ここでは ker(∂n) = Zn(X) と書き、im(∂n+1) = Bn(X) と書く。すると、Hn(X) = Zn(X) / Bn(X)

である。ホモロジー群の元をホモロジー類という。

上の 2 つの群 Zn(X) と Bn(X) は巨大な群であることが多く計算は難しい一方で、その商であるホモロジー群 Hn(X) を計算するには、さまざまな道具がある。

単体複体 X の 単体的ホモロジー群 Hn(X) は、各 n に対して C(X)n を X の n 単体全体で生成される自由アーベル群として得られる単体的チェイン複体 C(X) によって定義される。特異ホモロジー群は任意の位相空間 X に対して定義され、単体複体については単体的ホモロジー群と一致する。

チェイン複体が完全系列であるとは、(n + 1) 番目の写像の像が、常に n 番目の写像の核に一致することである。X のホモロジー群はしたがって、それから決まるチェイン複体が「どれだけ完全でないか」を測る量である。

コホモロジー群の定義も形式的には同様である。まず、コチェイン複体から始める。これはチェイン複体とほとんど同じものであるが、群のあいだをつなぐ矢印は n の減少方向ではなく n の増加方向を向いている。矢印を dn で表すことにすると、群 ker(dn) = Zn(X) および群 im(dn-1) = Bn(X) は同じように定義され、さらに同様にコホモロジー群Hn(X) = Zn(X) / Bn(X)

を得る。
例

ホモロジーを考える動機になる例は代数的位相幾何学に由来している。その例は単体複体 X の単体的ホモロジーである。ここで An は X の向き付けられた n 次元単体を生成元とする自由アーベル群である。写像は境界写像とよばれ、 ( a [ 0 ] , a [ 1 ] , … , a [ n ] ) {\displaystyle (a[0],a[1],\dots ,a[n])}

を頂点とする単体を、和 ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( a [ 0 ] , … , a [ i − 1 ] , a [ i + 1 ] , … , a [ n ] ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n])}

に写す。ここでの右辺は、n = 0 のときには 0 であると考える。加群として、体上のものを取れば、X の n 次元ホモロジー群の次元は X の n 次元の「穴」の数であると考えることができる。

この例をモデルとして、任意の位相空間 An の特異ホモロジーを定義することができる。X に対するチェイン複体を An としてn 次元単体 から X への連続写像全体で生成される自由アーベル群（あるいは自由加群）をとることで定義できる。準同型 ∂n は単体の境界写像により誘導されるものである。

抽象代数においては、ホモロジーを用いて導来関手、たとえば Tor関手を定義できる。まず、加法的共変関手 F と加群 X から出発する。加群 X に対するチェイン複体は次のようにして定義される。

まず、自由加群 F1 と全射準同型 p1: F1 → X をえらぶ。次に自由加群 F2 と全射準同型 p2: F2 → ker(p1) をえらぶ。このように繰り返してゆき、自由加群 Fn と準同型 pn の列が定義できる。この列に関手 F を適用すると、チェイン複体が得られる。この複体のホモロジー Hn は F と X とのみに依存する。これを F の n 次導来関手の X における値であると定義する。
ホモロジー関手

チェイン複体 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}\colon A_{n}\rightarrow A_{n-1})} からチェイン複体 ( e n : B n → B n − 1 ) {\displaystyle (e_{n}\colon B_{n}\rightarrow B_{n-1})} への射を、準同型の列 f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}} であって任意の n に対して f n − 1 ∘ d n = e n ∘ f n {\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}} が成立するようなものとして定義する。このようにしてチェイン複体は圏をなす。n 次元ホモロジー群 Hn はチェイン複体の圏からアーベル群（あるいは加群）の圏への共変関手であるとみなせる。

チェイン複体が対象 X に共変的に依存するものとする（つまり、任意の射 X → Y は X のチェイン複体から Y のチェイン複体への射を誘導するものとする）。このとき、Hn は X が属している圏からアーベル群（あるいは加群）の圏への共変関手である。

ホモロジーとコホモロジーとのただひとつの違いは、コホモロジーにおいてはチェイン複体が X に反変的に依存するという点で、したがってホモロジー群（この文脈ではこれをコホモロジー群と呼んで Hn と表す）は X の属する圏からアーベル群あるいは加群の圏への反変関手となる。
性質

チェイン複体 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})} において、有限個を除いて An がすべてゼロであり、ゼロでない An はすべて有限生成アーベル群（ないしは有限次元ベクトル空間であるとすると、そのチェイン複体のオイラー標数を χ = ∑ ( − 1 ) n r a n k ( A n ) {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}

によって定義できる（右辺の rank は、アーベル群の場合はその階数を意味し、ベクトル空間の場合には次元を意味する）。オイラー標数は、実はホモロジー群だけで計算できることがわかる。つまり、 χ = ∑ ( − 1 ) n r a n k ( H n ) {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}

が成り立つ。これは、特に代数的位相幾何学においては、チェイン複体の元となった対象 X の重要な不変量 χ を計算する 2 つの方法を与えている。

チェイン複体の任意の短完全列0 → A → B → C → 0

はホモロジー群の長完全列 ⋯ → H n ( A ) → H n ( B ) → H n ( C ) → H n − 1 ( A ) → H n − 1 ( B ) → H n − 1 ( C ) → H n − 2 ( A ) → ⋯ . {\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots .\,}