数学の測度論におけるE.ホップ（英語版）の拡張定理（英: Hopf extension theorem）とは、有限加法的測度が完全加法族上の（完全加法的）測度に拡張できるための条件を述べた定理である。

X を集合、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X 上の有限加法族とする。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上の有限加法的測度 μ が、F が生成する完全加法族 σ [ F ] {\displaystyle \sigma [{\mathcal {F}}]} 上の測度へと拡張されるための必要十分条件は、μ が F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上完全加法的であることである。さらに、可算個の X 1 , X 2 , … ∈ F {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}} で μ(Xk) < ∞ (∀k), X = ?∞
k=1 Xk なるものが存在すれば、拡張は一意的である。

カラテオドリの拡張定理は、ジョルダン測度がルベーグ測度に一意に拡張できることを示したものだが、E.ホップは、より一般の有限加法的測度が（完全加法的）測度に拡張できるための必要十分条件を示した[1]。ただし、本稿の一般の有限加法的測度についての定理を「カラテオドリの拡張定理」と呼んでいるテキストも多く見られる。
定理の内容

Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} を集合 X {\displaystyle X} の部分集合の有限加法族とする。関数 μ 0 : Σ 0 → R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mu _{0}\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}

は有限加法的であるとする。すなわち μ 0 ( ⋃ n = 1 N A n ) = ∑ n = 1 N μ 0 ( A n ) {\displaystyle \mu _{0}{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{N}A_{n}{\bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{N}\mu _{0}(A_{n})}

が Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内の任意の有限個の互いに素な集合 A 1 , A 2 , … , A N {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}} に対して成り立つものとする。

また、この関数はより強いσ-加法性も満たすものとする。すなわち、 μ 0 ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ μ 0 ( A n ) {\displaystyle \mu _{0}{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}{\bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})}

が、 ∪ n = 1 ∞ A n ∈ Σ 0 {\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}} を満たす Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内の任意の互いに素な集合列 ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} に対して成り立つものとする（これらの2つの性質を満たす関数 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は前測度として知られている）。このとき μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} により生成されるσ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } 上で定義されるある測度へと拡張される。すなわち、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} への制限が μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} と一致するようなある測度 μ : Σ → R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}