ペンテーション (英: pentation) は、テトレーションの次の、5番目のハイパー演算である。つまり、自らのテトレーションを指定された回数反復する演算である。[1]

第1から第5のハイパー演算は次のとおり。

加算 (hyper1) a + b = a + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ 長 さ  b {\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{{\text{長 さ }}b}}

乗算 (hyper2) a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ 長 さ  b {\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{{\text{長 さ }}b}}

冪乗 (hyper3) a b = a ↑ b = a × a × ⋯ × a ⏟ 長 さ  b {\displaystyle a^{b}=a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{{\text{長 さ }}b}}

テトレーション (hyper4) b a = a ↑↑ b = a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a ⏟ 長 さ  b = a a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ 高 さ  b {\displaystyle ^{b}a=a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高 さ }}b}}

ペンテーション (hyper5) b a = a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ ⋯ ↑↑ a ⏟ 長 さ  b = a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ 高 さ  b = a a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ 高 さ  a a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ ⋮ ⏟ 高 さ  a a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ 高さ a } 下 か ら  b 層 {\displaystyle {\begin{aligned}_{b}a&=a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}b}\\&\left.{\begin{matrix}=&\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高 さ }}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{{\text{高 さ }}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高さ}}a}}}}\end{matrix}}\right\}{\text{下 か ら }}b{\text{層}}\end{aligned}}}

a を底、 b を層数という。

ペンテーションは底 a を固定するごとに初等帰納的関数であるが、 a を変数と見なすと初等的ではない。

ちなみにペンテーションの反復による演算（6番目のハイパー演算）はヘキセーションと呼ばれる。 a ↑ 4 b = a ↑↑↑↑ b = a ↑↑↑ a ↑↑↑ ⋯ ↑↑↑ a ⏟ 長 さ  b = a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ 高 さ  b = a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ 高 さ  a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ ⋮ ⏟ 高 さ  a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ 高さ a } 下 か ら  b 層 {\displaystyle {\begin{aligned}a\uparrow ^{4}b&=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {_{_{_{_{_{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}b}\\&\left.{\begin{matrix}=&\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{\underbrace {\vdots } _{{\text{高 さ }}\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高さ}}a}}}}\end{matrix}}\right\}{\text{下 か ら }}b{\text{層}}\end{aligned}}}