ペル数（ぺるすう、Pell number）は自然数で、以下の漸化式で定義される数列にある項のことである。 P 1 = 1 , P 2 = 2 {\displaystyle P_{1}=1,P_{2}=2\,} P n = 2 P n − 1 + P n − 2 ( n ≥ 3 ) {\displaystyle P_{n}=2P_{n-1}+P_{n-2}\quad (n\geq 3)}
ペル数を1から小さい順に列記すると1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …オンライン整数列大辞典の数列 A000129
ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。
n番目のペル数は P n = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 2 {\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}}
という式で表される。 。 1 − 2 。 < 1 {\displaystyle \scriptstyle \left\vert 1-{\sqrt {2}}\right\vert <1} であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 Pn+1/Pn は白銀数 1 + 2 {\displaystyle \scriptstyle 1+{\sqrt {2}}} に限りなく近付く。
行列では以下のように表現される。 ( P n + 1 P n P n P n − 1 ) = ( 2 1 1 0 ) n {\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}
ここから以下の恒等式が導かれる。 P n + 1 P n − 1 − P n 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}}
この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。
x 2 − 2 y 2 = ± 1 {\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1} の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は P n − 1 + P n P n = 1 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , 41 29 , 99 70 , … {\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}={\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots } とだんだん√2の値に近付く。
ペル数の内累乗数は1と169のみである。
ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。 ( ( P k − 1 + P k ) ⋅ P k ) 2 = ( P k − 1 + P k ) 2 ⋅ ( ( P k − 1 + P k ) 2 − ( − 1 ) k ) 2 . {\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}
また以下の式で a2+b2=c2 を満たすピタゴラス数を表すこともできる。 ( a , b , c ) = ( 2 P n P n + 1 , P n + 1 2 − P n 2 , P n + 1 2 + P n 2 = P 2 n + 1 ) {\displaystyle (a,b,c)=(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1})}
関連項目
フィボナッチ数
白銀比
平方三角数
ピタゴラス数
ペル方程式 - ジョン・ペル
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?
1 + 2 + 3 + 4 + ?
無限算術級数
等比数列
収束級数
'"`UNIQ--templatestyles-0000000C-QINU`"'1/2 ? 1/4 + 1/8 ? 1/16 + ?
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ?
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ?
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?
1 + 2 + 4 + 8 + ?
1 ? 2 + 4 ? 8 + ?
グランディ級数
整数列
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その他の数列
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1 ? 2 + 3 ? 4 + ?
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