この項目「ベレの方法」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：Verlet integration）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2023年5月）

ベレの方法（ベレのほうほう、英: Verlet algorithm）は、ニュートンの運動方程式を数値積分する手法の一つ[1]。ベレのアルゴリズム、ベレ法、ベルレ積分法(Verlet integration)、ベルレの方法などの呼び方もある。分子動力学法における粒子の軌跡（トラジェクトリ）のシミュレーションやコンピュータグラフィックスに頻繁に用いられる。1791年にジャン＝バティスト・ジョゼフ・ドランブルが用いたのが最初で、その後も何回も再発見されているが、1960年代にLoup Verletが分子動力学法に用いてから広く使われるようになった。1909年にハレー彗星の軌道を計算するためにフィリップ・コーウェルとアンドリュー・クロンメリンにより用いられたり、1907年に磁場中の荷電粒子のトラジェクトリを研究するためにCarl Stormerにより用いられたりしている（そのため、Stormerの方法という異称もある）。[2]この手法の特徴として、数値的安定性が高く、時間反転対称性を持つことや位相空間上のシンプレクティック形式を保存するなど物理系において重要な性質を持つうえ、オイラー法と比べてもほとんど計算コストが増えないことが挙げられる。
基本

x → ¨ ( t ) = A → ( x → ( t ) ) {\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {A}}{\big (}{\vec {x}}(t){\big )}} の形の2階微分方程式を初期条件 x → ( t 0 ) = x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0}} および x → ˙ ( t 0 ) = v → 0 {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}} のもとで、 Δ t > 0 {\displaystyle \Delta t>0} をステップサイズとして、 t n = t 0 + n Δ t {\displaystyle t_{n}=t_{0}+n\,\Delta t} における数値的近似解 x → n ≈ x → ( t n ) {\displaystyle {\vec {x}}_{n}\approx {\vec {x}}(t_{n})} は、下のようなアルゴリズムで求めることができる。

x → 1 = x → 0 + v → 0 Δ t + 1 2 A → ( x → 0 ) Δ t 2 {\displaystyle {\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {A}}({\vec {x}}_{0})\,\Delta t^{2}} と置く。

n = 1、2、...について次を繰り返す。 x → n + 1 = 2 x → n − x → n − 1 + A → ( x → n ) Δ t 2 . {\displaystyle {\vec {x}}_{n+1}=2{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{n-1}+{\vec {A}}({\vec {x}}_{n})\,\Delta t^{2}.}