組合せ数学におけるベル多項式（ベルたこうしき、英: Bell polynomials）とは、エリック・テンプル・ベル（英語版）の名にちなむ、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。 B n , k ( x 1 , x 2 , … , x n − k + 1 ) {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})} = ∑ n ! j 1 ! j 2 ! ⋯ j n − k + 1 ! ( x 1 1 ! ) j 1 ( x 2 2 ! ) j 2 ⋯ ( x n − k + 1 ( n − k + 1 ) ! ) j n − k + 1 . {\displaystyle =\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}.}

ただしこの和は、 j 1 + j 2 + ⋯ = k and j 1 + 2 j 2 + 3 j 3 + ⋯ = n {\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots =k\quad {\mbox{and}}\quad j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n}

を満たすすべての非負整数の列 j1, j2, j3, ..., jn?k+1 について取られている。
目次

1 完全ベル多項式

2 組合せ論的な意味

2.1 例


3 性質

3.1 スターリング数とベル数

3.2 畳み込みの等式


4 ベル多項式の応用

4.1 ファー・ディ・ブルーノの公式

4.2 モーメントとキュムラント

4.3 二項型の多項式列による表現


5 ソフトウェア

6 関連項目

7 参考文献

完全ベル多項式

次の和 B n ( x 1 , … , x n ) = ∑ k = 1 n B n , k ( x 1 , x 2 , … , x n − k + 1 ) {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}

はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 Bn, k はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。

完全ベル多項式は次の等式を満たす。 B n ( x 1 , … , x n ) = det [ x 1 ( n − 1 1 ) x 2 ( n − 1 2 ) x 3 ( n − 1 3 ) x 4 ( n − 1 4 ) x 5 ⋯ ⋯ x n − 1 x 1 ( n − 2 1 ) x 2 ( n − 2 2 ) x 3 ( n − 2 3 ) x 4 ⋯ ⋯ x n − 1 0 − 1 x 1 ( n − 3 1 ) x 2 ( n − 3 2 ) x 3 ⋯ ⋯ x n − 2 0 0 − 1 x 1 ( n − 4 1 ) x 2 ⋯ ⋯ x n − 3 0 0 0 − 1 x 1 ⋯ ⋯ x n − 4 0 0 0 0 − 1 ⋯ ⋯ x n − 5 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ − 1 x 1 ] . {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}