この項目では、流体力学におけるベルヌーイの定理について説明しています。微分積分学におけるベルヌーイの定理については「ロピタルの定理」をご覧ください。

連続体力学

法則
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表面張力

科学者
ニュートン ・ ストークス ・ ナビエ ・ コーシー ・ フック ・ ベルヌーイ

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表

話

編

歴

ベンチュリ管を空気が流れている。管の太さが小さくなると速度が増加するが、それには圧力の減少を伴う。圧力の変化は水柱の高さの差に現れる。

ベルヌーイの定理（ベルヌーイのていり、英語: Bernoulli's principle）またはベルヌーイの法則とは、完全流体のいくつかの特別な場合において、ベルヌーイの式と呼ばれる運動方程式の第一積分が存在することを述べた定理である。
概要

ベルヌーイの式は流体の速さと圧力と外力のポテンシャルの関係を記述する式で、力学的エネルギー保存則に相当する。この定理により流体の挙動を平易に表すことができる。

ダニエル・ベルヌーイ（Daniel Bernoulli、1700年 - 1782年）によって1738年に発表された。なお、運動方程式からのベルヌーイの定理の完全な誘導はその後の1752年にレオンハルト・オイラーにより行われた[1]。@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}ベルヌーイの定理が成り立つ条件として、同一流線上の二点で成り立ち、一方の点と他方の点でエネルギーの総量に変化がないことである。[要出典]また、ベルヌーイの定理は粘性のない流体である完全流体のとき成り立つ。ベルヌーイの定理は、運動エネルギーと圧力の２つの力の和が一定であるので、速度が速くなると圧力が下がり、逆に速度が遅くなれば圧力が上がる。「流体の流れが速い場所では圧力が低い」と言うことがベルヌーイの定理ではない。[2]身近なベルヌーイの定理の使用例として、鳥や飛行機、霧吹き、ビル風の一部、車のキャブレター、スポーツカーについているウイング、野球ボールやゴルフボールが曲がる現象、電車が駅を通過するときに吸い寄せられる現象などがある。
分類

ベルヌーイの定理は適用する非粘性流体の分類に応じて様々なタイプに分かれるが、大きく二つのタイプに分類できる。

外力が保存力であること、バロトロピック性（密度が圧力のみの関数となる）という条件に加えて、

定常流という条件で成り立つ法則（I）

渦なしの流れという条件で成り立つ法則（II）

である。

（I）の法則は流線上（正確にはベルヌーイ面上）でのみベルヌーイの式が成り立つという制限があるが、（II）の法則は全空間で式が成立する。

最も典型的な例である

外力のない非粘性・非圧縮性流体の定常な流れに対して 1 2 v 2 + p ρ = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}=\mathrm {constant} }

が流線上で成り立つ。ただし、 v {\displaystyle v} は流体の速さ、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度を表す。

や

一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れに対して 1 2 v 2 + p ρ + g z = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+{p \over \rho }+gz=\mathrm {constant} }

が流線上で成り立つ。ただし、 v {\displaystyle v} は速さ、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 g {\displaystyle g} は重力加速度の大きさ、 z {\displaystyle z} は鉛直方向の座標を表す。

は(I)のタイプに属する。

（II）を「一般化されたベルヌーイの定理」と呼ぶこともある。
基本形

完全流体の運動方程式からベルヌーイの定理を導出する[3]。
オイラー方程式

バロトロピック性 ρ=ρ(p) と外力が保存力であることを仮定すると、非粘性流体の運動を記述するオイラー方程式 D v D t = − 1 ρ ∇ p + f {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}}