ベッセル関数（ベッセルかんすう、英: Bessel function）とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式における y ( x ) {\displaystyle y(x)} の特殊解の1つである。 x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}

上の式において、 α {\displaystyle \alpha } は、任意の実数である（次数と呼ばれる）。 α {\displaystyle \alpha } が整数 n {\displaystyle n} に等しい場合がとくに重要である。

α {\displaystyle \alpha } 及び − α {\displaystyle -\alpha } はともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、 α {\displaystyle \alpha } の関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など）。

そもそもベッセル関数は、惑星の軌道運動に関するケプラー方程式をベッセルが解析的に解いた際に導入された[1]。
応用

ベッセル解はラプラス方程式またはヘルムホルツ方程式の円柱座標系および極座標系における分離解として見出される。従ってベッセル関数は、電波伝播や静電位差などの解を求める際に重要である（円柱座標系においては整数次数 α = n {\displaystyle \alpha =n} 、極座標系においては半整数次数 α = n + 1 / 2 {\displaystyle \alpha =n+1/2} のベッセル関数がそれぞれ解として得られる）。例えば、

円筒導波管における電磁波

円柱物体の熱伝導

薄い円（か環状の）膜の振動のモード

など。

ベッセル関数はまた、信号処理のような問題で有用な特性を持つ（例えば、FM合成、カイザー窓やベッセルフィルタなど）。
定義

ベッセルの微分方程式は2階の線形微分方程式であるので、線形独立な2つの解が存在するはずである。しかしながら、解を議論する状況に応じて解の様々な表現が便利に使われている。代表的ないくつかの解の表現について以下で説明する。
第1種及び第2種ベッセル関数

これらの関数がベッセル関数群としては最も一般的な形式である。
第1種ベッセル関数
第1種ベッセル関数は J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} と表記される。 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} はベッセルの微分方程式の解であり、 α {\displaystyle \alpha } が整数もしくは非負であるとき、 x = 0 {\displaystyle x=0} で有限の値をとる。 J α {\displaystyle J_{\alpha }} における特定解の選択及び正規化は後述する。第1種ベッセル関数はまた、 x = 0 {\displaystyle x=0} のまわりでのテイラー展開（非整数の α {\displaystyle \alpha } に対しては、より一般にべき級数展開）によって定義することもできる。 J α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}

非整数の α {\displaystyle \alpha } に対しては、 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} と J − α ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)} とがベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える。他方で α {\displaystyle \alpha } が整数の場合には、 J − n ( x ) = ( − 1 ) n J n ( x ) {\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)} という関係が成り立つため、2つの解は線形従属となる。整数次数に対して J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} と線形独立な第2の解は、第2種ベッセル関数によって与えられる。
第2種ベッセル関数

ノイマン関数
第2種ベッセル関数 Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} はベッセルの微分方程式の解であり x = 0 {\displaystyle x=0} において特異性を持つ。ベッセル関数はノイマン関数とも呼ばれ、 N α ( x ) {\displaystyle N_{\alpha }(x)} と表される。第2種ベッセル関数と第1種ベッセル関数 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} は以下の関係を持つ。 Y α ( x ) = J α ( x ) cos ⁡ ( α π ) − J − α ( x ) sin ⁡ ( α π ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}} ただし、 α {\displaystyle \alpha } が整数のときは右辺は極限によって定義されるものとする。

非整数の α {\displaystyle \alpha } に対しては、 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} と J − α ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)} とが線形独立な2つの解を既に与えているので、 Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} は解の表現としては冗長である。整数 n {\displaystyle n} に対しては、 Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)} は J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} と線形独立な第2の解を与えている。整数 n {\displaystyle n} に対して、 Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)} と Y − n ( x ) {\displaystyle Y_{-n}(x)} の間に Y − n = ( − 1 ) n Y n ( x ) {\displaystyle Y_{-n}=(-1)^{n}Y_{n}(x)} という関係が成り立ち、従って両者は線形従属である。

J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 及び Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} はどちらも、負の実軸を除く複素平面上で x {\displaystyle x} の解析的な関数（正則な関数）である。 α {\displaystyle \alpha } が正の整数のとき、これらの関数は負の実軸上に分岐点を持たず、したがって x {\displaystyle x} の整関数となる。また、固定した x {\displaystyle x} に対して、ベッセル関数は α {\displaystyle \alpha } の整関数となる。

第1種ベッセル関数

第2種ベッセル関数

超幾何級数との関係

ベッセル関数は超幾何級数（超幾何関数ともいう）によって、以下のように表現することができる。
J ν ( z ) = ( z / 2 ) ν Γ ( ν + 1 ) 0 F 1 ( ν + 1 ; − z 2 / 4 ) . {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(\nu +1;-z^{2}/4).}